Unica lagrangiana relatività ristretta per particelle massive e massless

[astrifiammante]

Salve a tutti. Quando si fa la dinamica in relatività ristretta, tramite il principio di minima azione, si costruisce una lagrangiana per una particella massiva e si arriva, nel caso di particella libera, all'energia:

$$ E= \sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$$
la quale suggerisce che in relatività si possono trattare anche particelle non massive. Ora è facile pervenire anche alla lagrangiana di una particella libera non massiva, quello che mi domandavo è qualcuno mi sa costruire una lagrangiana in relatività ristretta (e non teoria dei campi) che vada bene sia per una particella massiva che per una particella non massiva (libera)?, operando con la quale si perviene all'energia sopra scritta?
In oltre avrebbe senso costruire una lagrangiana per una particella massless non libera? Ok il fotone è una particella libera poichè non risente di interazioni, però sarebbe interessante tentare di costruire una lagrangiana per particella massiva e non massiva non libera.

[Sk_Anonymous]

Mi sono rinfrescato le idee, leggendo un libro di un relativista americano; vedi se può esserti utile.

In assenza di forze, una particella materiale si muove in linea retta, e questo sia in Meccanica classica che in Meccanica relativistica, cioè in RR .
Infatti, data la 4-velocità $\vecU = (\gamma, \gamma\vecv)$ , devo avere che :

$(d\vecU)/(d\tau) = 0$ -------(1)

ma questo è assicurato dal fatto che $\gamma$ è costante (in RR , anche se in RR si possono considerare moti accelerati, ma allora c'è necessariamente una forza) ed è costante pure la 3-velocità $\vecv$.

Ma la (1) si può avere anche da un principio variazionale, come in meccanica classica.

La meccanica newtoniana si può condensare nel principio di minima azione.
Similmente, la meccanica relativistica si può condensare in un analogo principio variazionale, quello che "estremizza" il tempo proprio. Le linee rette lungo le quali si muovono le particelle libere nello spaziotempo della RR sono cammini di tempo proprio "più lungo" tra due eventi, come si vede per es. nel famoso paradosso dei gemelli. E questo è nient'altro che un principio variazionale .
Infatti, consideriamo due eventi A e B con separazione di tipo tempo nello ST piatto della RR. Per tutti i possibili cammini tra A e B, ognuno avrà un valore di tempo proprio :

$\tau_(AB) = \int_A^Bd\tau = \int_A^B(dt^2 - dx^2 -dy^2-dz^2)^(1/2)$ ------(2)

[segnatura $(+,-,-,-)$ , $c=1$ ]

Supponiamo che ogni linea di universo sia parametrizzata da un parametro $\sigma$ che vale 0 in A e vale 1 in B.
( $\sigma$ non è il tempo proprio, ma poi si vede come è legato a $\tau$ ).
Percio la linea d'universo è data dalle equazioni : $x^\alpha = x^\alpha (\sigma)$, e la (2) diventa:

$\tau_(AB) = \int_A^Bd\tau = \int_0^1d\sigma[((dt)/(d\sigma))^2 - ((dx)/(d\sigma))^2 - ((dy)/(d\sigma))^2 - ((dz)/(d\sigma))^2]^(1/2)$ --------(3)

Assumiamo come lagrangiana la funzione integranda della (3) , che poi è uguale a :

$L = (-\eta_(\mu\nu)(dx^\mu)/(d\sigma)(dx^\nu)/(d\sigma))^(1/2) $ ------(5)

(il segno $"-"$ è necessario, vista la segnatura, per rendere positivo il radicando). Confrontando la (2) con la (3), si vede che :
$L = (d\tau)/(d\sigma)$ ----------(6)
e questo è il legame tra il tempo proprio e il parametro.

L'equazione di Lagrange è allora :

$d/(d\sigma)((partialL)/(partial(dx^\alpha)/(d\sigma)) ) - (partialL)/(partialx^\alpha) = 0 $ ---------(7)

Abbiamo 4 equazioni, una per coordinata. Prendiamo la coordinata $x^1$ ; l'equazione di Lagrange diventa :

$d/(d\sigma)[1/L(dx^1)/(d\sigma)] = 0 $ ---------(8)

E tenendo conto della (6) si ottiene che deve essere : $(d^2x^1)/(d\tau^2) = 0 $ -------(9)

Le altre tre equazioni per le altre coordinate sono identiche. Percio le 4 equazioni prese insieme sono le eq. del moto della particella libera tra A e B. La linea di universo è una curva di tempo proprio estremale.

E fin qui, mi dirai, sono tutte cose che sai, non ho detto niente di nuovo.

MA consideriamo ora un fotone , che ha massa nulla, e ha velocità $c$ in tutti i rif. inerziali. Esso si muove lungo una geodetica tipo luce, perciò non si può evidentemente parlare di "tempo proprio" per parametrizzare questa geodetica, perché l'intervallo tra due eventi tipo luce è sempre zero.
Però si può assumere un parametro $\lambda$ "affine" ; per es. la geodetica : $ x = t$ si può scrivere parametricamente :

$x^\alpha = u^\alpha*\lambda$

dove $\lambda$ è il parametro e $u^\alpha = (1,1,0,0)$ è il 4-vettore tangente : $u^\alpha = (dx^\alpha)/(d\lambda)$ .

Questo 4-vettore è un vettore nullo, essendo tangente alla geodetica tipo luce, e perciò $\vecu*\vecu = 0 $.

Con questa parametrizzazione quindi non si ha più, come per la 4-velocita di una particella materiale, che : $\vecu*\vecu = -1 $ (oppure +1 , dipende dalla segnatura. Comunque $\vecu$ è di genere tempo ).
D'altronde con questa parametrizzazione si ha : $(d\vecu)/(d\lambda) = 0 $ , così come si aveva la (1) per la particella materiale.

E allora la lagrangiana si può scrivere alla stessa maniera di prima, prendendo $\lambda$ come parametro.

Pero come arrivare a : $E = pc$ per il fotone, non saprei . Il libro che ti ho detto non ne parla.

All'ultima domanda credo, per quanto ne so io, che la risposta sia negativa. Come si fa a costruire una lagrangiana per una particella senza massa "non libera" ? Questa condizione significa che la particella risente dell'azione di un vincolo, e com'è possibile se la massa è nulla?

Spero di non aver detto grosse corbellerie, e spero che ti possa tornare utile.