Una pallina è posta sulla sommità di una semisfera...

[ulven101]

Salve, spero di non duplicare alcuna richiesta di aiuto con il problema che sto per proporre.
È stato fatto all'esercitazione di fisica dell'altro ieri e in mezzo alla confusione mi sono perso la spiegazione. Ora sto cercando di arrivarci da solo, ma mi serve una spintarella:

Una pallina scivola, priva di attrito, su una semisfera di raggio R partendo dalla sommità di essa. Calcolare l'angolo del distacco e a quale distanza la pallina cade dal centro della semisfera.

Grazie.

[5mrkv]

Boh, proviamo. Considera che la traiettoria prima del distacco appartiene alla curva
\[
y(x)=(R^{2}-x^{2})^{1/2}\mbox{ con } -R\leq x \leq R
\]
Se a naso la pallina si stacca dalla semisfera quando (disegna ad esempio il secondo quadrante) la tangente-velocità supera la tangente alla curva in un certo punto, ovvero la pallina si muoverà in modo tale da non toccare più la semisfera in un instante successivo
\[
\theta\leq \overline{\theta}=\tan ^{-1}y'(x)
\]
(tenendo a mente l'interpretazione geometrica della derivata)
\[
y'(x)=\tan \theta
\]
Allora imponi per ricavare il punto di distacco
\[
\theta(x)=\overline{\theta}
\]
e ricava in funzione di \(x\). Dove \(\theta(x)\) si ricaverà dalle equazioni fisiche. Il resto conoscendo le velocità e posizioni è un problema di semplice cinematica. Prova. Oppure vedi la prova dell'8/2/2008 link.