Una molla e due masse
Scusate la domanda forse stupida: ho un sistema molto semplice composto da una molla e due masse collegate ( \( m_1, m_2 \) ) ai due estremi della molla. La molla, che ha una lunghezza L a riposo, viene compressa di \( \Delta l \) . Una volta lasciata libera non riesco a capire quali siano le equazioni del moto delle due masse... Ognuna delle due masse è sottoposta alla stessa forza elastica, no? In più entrambe "risentono" l'una dell'altra per il terzo principio? Grazie
Risposte
Ciao!
Questo caso e' piu' difficile di quello della molla vincolata al muro. Sia la molla compressa di '' $Deltal$ '', siano '' $m_1,m_2$ '' le masse ai suoi estremi e sia '' $k$ '' la costante elastica. Sin da subito paragoniamo il sistema con la stessa molla, ma vincolata al muro e con '' $m_1$ '' ad un estremo ( lo chiamiamo '' caso base '' ). Nel caso base la molla si muove, portandosi la massa, e dall'allungamento massimo arrivera' alla lunghezza normale in un certo tempo. Ma nel caso con due masse, per ogni spostamento di '' $m_2$ '' si avvicina ( o si allontana, dipende da quale fase del moto consideriamo ) anche '' $m_1$ ''. Entrambe le masse sono sottoposte nel tempo alla forza '' $F(t)=Fcos(omegat)$ '' ( poniamo, per comodita', che il moto cominci dalla massima elongazione o compressione; '' $F=kDeltal$ '' ). Quindi, muovendosi diversamente rispetto al caso base ( tempi diversi per giungere alla massima compressione o elongazione ), e' come se ognuna di loro fosse vincolata da una molla con costante elastica diversa, rispettivamente '' $k_1,k_2$ '', nonostante la molla sia la stessa. L'obiettivo e' ricavare la legge oraria di ciascun corpo.
Tuttavia la molla e' sempre essa, quindi le forze applicate alle masse sono uguali: $F_1=F_2$. Quindi:
$m_1a_1=m_2a_2$. Analogamente: $k_1Deltal_1=k_2Deltal_2$.
Pero' la massima variazione di lunghezza equivale alla somma dei massimi spostamenti dall'equilibrio delle rispettive masse: $Deltal=Deltal_1+Deltal_2$.
Sia '' $m_2/m_1=h$ ''. A causa della forza interagente uguale in modulo, avremo che le accelerazioni dalle masse saranno inversamente proporzionali: $a_1=ha_2$. Quindi in ogni istante avremo: $v_1=hv_2$. Da cui lo spazio:
$x_1=hx_2$. Vale anche per gli spostamenti massimi ( dato che vale in ogni istante ), quindi:
$Deltal_1=hDeltal_2$. Da cui:
$Deltal_1=(m_2/m_1)Deltal_2$.
Date le proporzionalita', quanto percorrera' ogni massa sul totale '' $Deltal$ '' affinche' la molla giunga alla massima deformazione? C'e' una proporzionalita' rispetto alle masse: $Deltal_1=m_2/(m_1+m_2)Deltal$.
Si capisce facilmente con il seguente esempio ( verificalo ): una massa di '' $1kg$ '' e un'altra di '' $2kg$ '' sono alla distanza di '' $6m$ '' e sottoposte alla stessa forza, sulla stessa direzione, ma su versi opposti. Dove si incontrano? A '' $4m$ '' dalla massa di '' $1kg$ ''.
Poi si ricava ( sottraendo ): $Deltal_2=m_1/(m_1+m_2)Deltal$.
Ci serve la pulsazione, per poter ricavare la legge del moto:
$omega_1=k_1/m_1$.
$omega_2=k_2/m_2$. Dimostreremo che '' $omega_1=omega_2=omega$ ''.
$Deltal_1k_1=F$. Quindi: $k_1=F/(Deltal_1)$. Da cui:
$k_1=F/(m_2Deltal)(m_1+m_2)$. Quindi ( dividendo per '' $m_1$ '' ):
$omega_(1)^2=F/(m_1m_2Deltal)(m_1+m_2)$.
Ora l'altro: $Deltal_2k_2=F$.
$k_2=F/(m_1Deltal_1)(m_1+m_2)$. Da cui:
$omega_(2)^2=F/(m_1m_2Deltal)(m_1+m_2)$.
Quindi abbiamo ottenuto: $omega_1=omega_2$. Questa e' la pulsazione del sistema. Da notare che '' $F/Deltal=k$ '', la costante elastica della molla ( indipendentemente dal sistema ).
Finalmente, ora possiamo ricavare le leggi del moto ( ponendo un eventuale costante di fase '' $phi$ '', e ricordandoci le sopraccitate ampiezze del moto relative ):
$x_1(t)=m_1/(m_1+m_2)Deltalcos(omegat+phi)$.
$x_2(t)=-m_2/(m_1+m_2)Deltalcos(omegat+phi)+l$.
Questo e' quello ottenuto.
Questo caso e' piu' difficile di quello della molla vincolata al muro. Sia la molla compressa di '' $Deltal$ '', siano '' $m_1,m_2$ '' le masse ai suoi estremi e sia '' $k$ '' la costante elastica. Sin da subito paragoniamo il sistema con la stessa molla, ma vincolata al muro e con '' $m_1$ '' ad un estremo ( lo chiamiamo '' caso base '' ). Nel caso base la molla si muove, portandosi la massa, e dall'allungamento massimo arrivera' alla lunghezza normale in un certo tempo. Ma nel caso con due masse, per ogni spostamento di '' $m_2$ '' si avvicina ( o si allontana, dipende da quale fase del moto consideriamo ) anche '' $m_1$ ''. Entrambe le masse sono sottoposte nel tempo alla forza '' $F(t)=Fcos(omegat)$ '' ( poniamo, per comodita', che il moto cominci dalla massima elongazione o compressione; '' $F=kDeltal$ '' ). Quindi, muovendosi diversamente rispetto al caso base ( tempi diversi per giungere alla massima compressione o elongazione ), e' come se ognuna di loro fosse vincolata da una molla con costante elastica diversa, rispettivamente '' $k_1,k_2$ '', nonostante la molla sia la stessa. L'obiettivo e' ricavare la legge oraria di ciascun corpo.
Tuttavia la molla e' sempre essa, quindi le forze applicate alle masse sono uguali: $F_1=F_2$. Quindi:
$m_1a_1=m_2a_2$. Analogamente: $k_1Deltal_1=k_2Deltal_2$.
Pero' la massima variazione di lunghezza equivale alla somma dei massimi spostamenti dall'equilibrio delle rispettive masse: $Deltal=Deltal_1+Deltal_2$.
Sia '' $m_2/m_1=h$ ''. A causa della forza interagente uguale in modulo, avremo che le accelerazioni dalle masse saranno inversamente proporzionali: $a_1=ha_2$. Quindi in ogni istante avremo: $v_1=hv_2$. Da cui lo spazio:
$x_1=hx_2$. Vale anche per gli spostamenti massimi ( dato che vale in ogni istante ), quindi:
$Deltal_1=hDeltal_2$. Da cui:
$Deltal_1=(m_2/m_1)Deltal_2$.
Date le proporzionalita', quanto percorrera' ogni massa sul totale '' $Deltal$ '' affinche' la molla giunga alla massima deformazione? C'e' una proporzionalita' rispetto alle masse: $Deltal_1=m_2/(m_1+m_2)Deltal$.
Si capisce facilmente con il seguente esempio ( verificalo ): una massa di '' $1kg$ '' e un'altra di '' $2kg$ '' sono alla distanza di '' $6m$ '' e sottoposte alla stessa forza, sulla stessa direzione, ma su versi opposti. Dove si incontrano? A '' $4m$ '' dalla massa di '' $1kg$ ''.
Poi si ricava ( sottraendo ): $Deltal_2=m_1/(m_1+m_2)Deltal$.
Ci serve la pulsazione, per poter ricavare la legge del moto:
$omega_1=k_1/m_1$.
$omega_2=k_2/m_2$. Dimostreremo che '' $omega_1=omega_2=omega$ ''.
$Deltal_1k_1=F$. Quindi: $k_1=F/(Deltal_1)$. Da cui:
$k_1=F/(m_2Deltal)(m_1+m_2)$. Quindi ( dividendo per '' $m_1$ '' ):
$omega_(1)^2=F/(m_1m_2Deltal)(m_1+m_2)$.
Ora l'altro: $Deltal_2k_2=F$.
$k_2=F/(m_1Deltal_1)(m_1+m_2)$. Da cui:
$omega_(2)^2=F/(m_1m_2Deltal)(m_1+m_2)$.
Quindi abbiamo ottenuto: $omega_1=omega_2$. Questa e' la pulsazione del sistema. Da notare che '' $F/Deltal=k$ '', la costante elastica della molla ( indipendentemente dal sistema ).
Finalmente, ora possiamo ricavare le leggi del moto ( ponendo un eventuale costante di fase '' $phi$ '', e ricordandoci le sopraccitate ampiezze del moto relative ):
$x_1(t)=m_1/(m_1+m_2)Deltalcos(omegat+phi)$.
$x_2(t)=-m_2/(m_1+m_2)Deltalcos(omegat+phi)+l$.
Questo e' quello ottenuto.
Grazie mille della risposta! Completa e chiara. Non comprendo però a fondo come si possa supporre inizialmente la presenza di due k diversi... diventa evidente alla fine quando otteniamo la stessa pulsazione, ma non ne capisco il senso "intuitivo". Altra domanda: ma quindi il centro di massa del sistema rimane fermo?
La costante elastica di una molla stabilisce di quanto variera' la sua lunghezza in base alla forza applicatale. Ora immagina il caso base ( muro ): agisce una forza, si deforma in un certo modo e ne deriva un certo moto. Allora e' deducibile, in base alla distanza dal suo centro di oscillazione, quale sara' la sua costante elastica.
Nel caso della coppia di masse abbiamo che queste oscillano con ampiezza diversa rispetto al caso base, nonostante la molla sia la stessa ( dal punto di vista di una delle masse: essa si muove, ma il resto della molla, durante la contrazione, '' le viene incontro '', e gia' da qui si intuisce come mai non si puo' supporre che la '' costante elastica relativa '' ( consentimi il termine ) rimanga uguale. Abbiamo due centri di oscillazione ( ogni corpo oscilla intorno ad un punto d'equilibrio ). Poi, se le masse sono diverse, avremo che anche le ampiezze relative al loro centro di oscillazione saranno diverse. Puoi anche concepire un caso analogo, ovvero e' come se ogni massa avesse la sua molla che provoca il moto oscillatorio. Quindi ricordati il legame '' ampiezza moto - costante elastica ''. Prima lo avevo annotato spiegando direttamente sulla velocita' ( che e' una conseguenza ).
Spero di essere stato chiaro.
Ti propongo un esercizio: mantenendo la massa '' $m_2$ '', riconduci al caso '' molla - muro ''.
Si', il centro di massa rimane fermo. Infatti agiscono forze interne al sistema. Questo e' quanto.
Nel caso della coppia di masse abbiamo che queste oscillano con ampiezza diversa rispetto al caso base, nonostante la molla sia la stessa ( dal punto di vista di una delle masse: essa si muove, ma il resto della molla, durante la contrazione, '' le viene incontro '', e gia' da qui si intuisce come mai non si puo' supporre che la '' costante elastica relativa '' ( consentimi il termine ) rimanga uguale. Abbiamo due centri di oscillazione ( ogni corpo oscilla intorno ad un punto d'equilibrio ). Poi, se le masse sono diverse, avremo che anche le ampiezze relative al loro centro di oscillazione saranno diverse. Puoi anche concepire un caso analogo, ovvero e' come se ogni massa avesse la sua molla che provoca il moto oscillatorio. Quindi ricordati il legame '' ampiezza moto - costante elastica ''. Prima lo avevo annotato spiegando direttamente sulla velocita' ( che e' una conseguenza ).
Spero di essere stato chiaro.
Ti propongo un esercizio: mantenendo la massa '' $m_2$ '', riconduci al caso '' molla - muro ''.
Si', il centro di massa rimane fermo. Infatti agiscono forze interne al sistema. Questo e' quanto.
Molto chiaro, grazie ancora!
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