Una domanda banale sull'energia di un condensatore
Motivato dal recente topic di dark121it stavo rinfrescando un po' le mie nozioni di elettromagnetismo. Consideriamo un condensatore di capacità $C$. Se sulle sue armature viene infusa una carica $q$, esso contiene una energia elettrostatica
$U_E=1/2 frac{q^2}{C}$.
Ora una osservazione - credo - totalmente standard: se il condensatore è caricato mediante collegamento ad un generatore di f.e.m., il lavoro che quest'ultimo deve spendere è pari al doppio dell'energia effettivamente immagazzinata. Il resto del lavoro è dissipato nel circuito.
Mi chiedo che rapporto ci sia tra questa dissipazione di energia e la resistenza del circuito. In altri termini (a proposito: grazie ad elgiovo per avere consigliato xcircuit!)
se in questo circuito togliamo la resistenza e ne mettiamo una più grande, dissipiamo la stessa quantità di energia? Io mi sono risposto da solo di si: ci vorrà più tempo per caricare il condensatore, ma dal punto di vista energetico non deve cambiare nulla. Mi sbaglio?
$U_E=1/2 frac{q^2}{C}$.
Ora una osservazione - credo - totalmente standard: se il condensatore è caricato mediante collegamento ad un generatore di f.e.m., il lavoro che quest'ultimo deve spendere è pari al doppio dell'energia effettivamente immagazzinata. Il resto del lavoro è dissipato nel circuito.
Mi chiedo che rapporto ci sia tra questa dissipazione di energia e la resistenza del circuito. In altri termini (a proposito: grazie ad elgiovo per avere consigliato xcircuit!)
se in questo circuito togliamo la resistenza e ne mettiamo una più grande, dissipiamo la stessa quantità di energia? Io mi sono risposto da solo di si: ci vorrà più tempo per caricare il condensatore, ma dal punto di vista energetico non deve cambiare nulla. Mi sbaglio?
Risposte
Ragionanando da un punto di vista teorico il condensatore si carica dopo un tempo infinito infatti la corrente varia nel tempo con la seguente legge :
$i(t)=V/R e^(-t/(RC))$, in pratica dopo un tempo pari a $5((RC))$ la corrente può considerarsi nulla(come puoi verificare facendo dei plot di questa funzione ),quindi se aumentiamo $R$ ci vorrà come dici te più tempo per caricare il condensatore.Da un punto di vista energetico l'energia al secondo dissipata dalla resistenza sarà data dalla legge $P=i^2 R$ quindi se non sbaglio più è grande $R$ più velocemente si dissipa energia.
Spero di non aver detto cavolate, ma visto che in analisi mi hai sempre dato una mano ho provato a rispondere
$i(t)=V/R e^(-t/(RC))$, in pratica dopo un tempo pari a $5((RC))$ la corrente può considerarsi nulla(come puoi verificare facendo dei plot di questa funzione ),quindi se aumentiamo $R$ ci vorrà come dici te più tempo per caricare il condensatore.Da un punto di vista energetico l'energia al secondo dissipata dalla resistenza sarà data dalla legge $P=i^2 R$ quindi se non sbaglio più è grande $R$ più velocemente si dissipa energia.
Spero di non aver detto cavolate, ma visto che in analisi mi hai sempre dato una mano ho provato a rispondere
Comunque si può dimostrare che nella carica di un condensatore il 50% dell'energia fornita dal generatore va in energia elettrostatica,l'altra metà viene dissipata in calore,indipendentemente dai valori di $R$ e $C$.(vedere mazzoldi nigro voci)
Però un momento ...se si vuole detrminare l'energia dissipata dalla resistenza bisogna integrare la potenza nel tempo e si ottiene $1/2 C V^2$ quindi aumentando la resistenza non cambia nulla come dici tu
io non trovo che la domanda abbia molto senso, ma è un mio punto di vista, mi spiego: cosa si intende quando dici che si dissipa la stessa quantità di energia? se ci pensi bene, qualunque resistenza metti nel circuito, prima o poi si dissiperà sempre una certa quantità $E_d$ di energia (in tempi diversi, ma è ragionevole). l'osservazione che fai sul tempo di carica è corretta (resistenza maggiore = tempo di carica/scarica maggiore), ed è questo il fulcro della questione: è la potenza dissipata, ovvero l'energia dissipata per unità di tempo, la grandezza che cambia.
Perché non ha senso, enr? La devo formalizzare meglio? Proviamo.
Domanda Sia $E$ il limite per $t \to infty$ (@baldo: giusta osservazione, ci vorrebbe un tempo infinito per caricare completamente) dell'energia immagazzinata nel condensatore e sia $W$ il limite per $t \to infty$ del lavoro speso dal generatore di f.e.m. nel processo di carica. La differenza $W-E$ dipende dalla resistenza presente nel circuito?
Mi pare che baldo abbia risposto dicendo che $W-E=E$ e che quindi la resistenza non c'entra nulla. L'unico problema è che non ho capito il discorso sulla potenza. E' vero che in questo momento sono un po' stonato (
) dopo ci rifletto un po' a mente meno annebbiata. @baldo: Se nel frattempo hai voglia di spiegare un altro po', fai pure! Io soprattutto non capisco: se nell'espressione della potenza compare $R$, com'è che poi sparisce dopo avere integrato?
Domanda Sia $E$ il limite per $t \to infty$ (@baldo: giusta osservazione, ci vorrebbe un tempo infinito per caricare completamente) dell'energia immagazzinata nel condensatore e sia $W$ il limite per $t \to infty$ del lavoro speso dal generatore di f.e.m. nel processo di carica. La differenza $W-E$ dipende dalla resistenza presente nel circuito?
Mi pare che baldo abbia risposto dicendo che $W-E=E$ e che quindi la resistenza non c'entra nulla. L'unico problema è che non ho capito il discorso sulla potenza. E' vero che in questo momento sono un po' stonato (
) dopo ci rifletto un po' a mente meno annebbiata. @baldo: Se nel frattempo hai voglia di spiegare un altro po', fai pure! Io soprattutto non capisco: se nell'espressione della potenza compare $R$, com'è che poi sparisce dopo avere integrato?
"dissonance":
Perché non ha senso, enr? La devo formalizzare meglio? Proviamo.
Domanda Sia $E$ il limite per $t \to infty$ (@baldo: giusta osservazione, ci vorrebbe un tempo infinito per caricare completamente) dell'energia immagazzinata nel condensatore e sia $W$ il limite per $t \to infty$ del lavoro speso dal generatore di f.e.m. nel processo di carica. La differenza $W-E$ dipende dalla resistenza presente nel circuito?
Mi pare che baldo abbia risposto dicendo che $W-E=E$ e che quindi la resistenza non c'entra nulla. L'unico problema è che non ho capito il discorso sulla potenza. E' vero che in questo momento sono un po' stonato (
[premetto che dopo aver scritto questa risposta mi sono accorto di essere andato un po' fuori tema nella prima parte, se vuoi puoi saltare alla sezione sotto la linea tratteggiata]
ecco cosa non avevi specificato prima: il tempo in cui si immagazzina l'energia.
abbiamo che l'energia immagazzinata nel condensatore, all'istante $t$, è:
$U_C = int_(q(0))^(q(t)) V_C dq = int_(q(0))^(q(t)) q/C dq = 1/2 (q(t)^2)/C $ (nel processo di carica poniamo $q(0) = 0$)
nota inoltre che $ 1/2 (q(t)^2)/C = 1/2V(t)^2 C $ (1)
ora cerchiamo di capire come il tempo di carica dei piatti dipenda dalla resistenza R
la relazione che lega le d.d.p. (vedi kirchoff) è la seguente:
$ V_G - V_C - V_R = 0
risolvendo la EDO associata, ricavi che:
$q = q_0(1 - e^(-t/(RC)))
da cui:
$i = i_0 e^(-t/(RC)) $ (2)
$V_C = V_0(1 - e^(-t/(RC)))
dall'ultima equazione: l'unica maniera di caricare "completamente" il condensatore è porre $t to infty$, per cui l'entità della resistenza R è trascurabile. allora da (1) ricavi che l'energia accumulata nel condensatore è sempre la stessa dopo un tempo infinito (se il tempo fosse finito il discorso cambierebbe).
----------------------------------
considerazioni sull'energia dissipata sulla resistenza
in questo caso l'integrale è
$ U_d = int V_R dq = int V_R(t) i(t) dt = int_0^t R i(t)^2 dt $ (3)
a fare integrali sei più bravo di me, per cui prova a vedere che risultato esce quando t va a infinito, dopo aver sostituito la (2).
la considerazione di baldo si basa :
1) su un risultato che si ricava dall'analisi del processo di scarica, in cui si dimostra che l'energia dissipata sulla resistenza è la stessa accumulata sul condensatore ($U_d = U_C$)
2) sull'ipotesi che V_C finale nel processo di carica, sia uguale a V_C iniziale nel processo di scarica
per cui la soluzione dell'integrale (3) è $1/2CV(t)$.
se ti interessa approfondire questo aspetto ti posso segnalare le dispense che uso io, altrimenti se hai un libro di testo buono puoi consultare quello.
riguardo alla potenza, basta solo che tieni presente la definizione: P = dU/dt, da cui $U = int_0^t P dt $
se sopra ho detto qualcosa che può averti confuso lascia perdere.
se hai dubbi non esitare a chiedere, credo comunque che baldo sia più preparato di me (se non ricordo male studia fisica)
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