Un sasso in un pozzo
Penso che questo problema sia un "classico" della cinematica, dato che l'ho trovato, con dati diversi, su quasi tutti i libri.
Si determini la profondità $h$ di un pozzo sapendo che tra l'istante in cui si lascia cadere un sasso (con velocità iniziale nulla) e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell'urto del sasso con il fondo del pozzo, trascorre un tempo $T=04,8s$
Si trascuri la resistenza dell'aria e si assuma la velocità del suono pari a $v_s=340ms^-1$
Ho fissato un asse che ha origine sul fondo del pozzo e verso diretto in alto.
l'equazione del moto sel sasso è:
$x(t)=h-1/2g*t^2$
Il tempo totale invece è dato dalla somma del tempo che il sasso impiega a cadere $t_c$, e del tempo che il suono impiega a percorrere il pozzo al contrario $t_s$, quindi:
$T=t_c+t_s = t_c+ h/v_s= t_c+ h/(340 m*s^-1)$
Già qui si potrebbe impostare la risoluzione dato che conosciamo il valore $T$, e $t_c$ è ricavabile dall'equazione oraria in funzione di $h$.
Tuttavia ho deciso di seguire un'altra strada, e vorrei sapere se ho fatto qualche errore.
$t_c=T-t_s=T-h/v_s$
Sul fondo del pozzo, si ha $x(t)=0$ e $t=t_c$, quindi, sostituendo nell'equazione oraria $x(t)=h-1/2g*t^2$ si ha:
$0=h-1/2g*(T-h/v_s)^2$
L'unica incognita in questa euqazione è $h$. i risultati saranno 2, ed uno solo avrà sgnificato fisico rispetto al sistema.
Ho commesso qualche errore? perchè svolgendo i calcoli, non ottengo i risultati del libro.
Si determini la profondità $h$ di un pozzo sapendo che tra l'istante in cui si lascia cadere un sasso (con velocità iniziale nulla) e quello in cui si ode il rumore, in conseguenza dell'urto del sasso con il fondo del pozzo, trascorre un tempo $T=04,8s$
Si trascuri la resistenza dell'aria e si assuma la velocità del suono pari a $v_s=340ms^-1$
Ho fissato un asse che ha origine sul fondo del pozzo e verso diretto in alto.
l'equazione del moto sel sasso è:
$x(t)=h-1/2g*t^2$
Il tempo totale invece è dato dalla somma del tempo che il sasso impiega a cadere $t_c$, e del tempo che il suono impiega a percorrere il pozzo al contrario $t_s$, quindi:
$T=t_c+t_s = t_c+ h/v_s= t_c+ h/(340 m*s^-1)$
Già qui si potrebbe impostare la risoluzione dato che conosciamo il valore $T$, e $t_c$ è ricavabile dall'equazione oraria in funzione di $h$.
Tuttavia ho deciso di seguire un'altra strada, e vorrei sapere se ho fatto qualche errore.
$t_c=T-t_s=T-h/v_s$
Sul fondo del pozzo, si ha $x(t)=0$ e $t=t_c$, quindi, sostituendo nell'equazione oraria $x(t)=h-1/2g*t^2$ si ha:
$0=h-1/2g*(T-h/v_s)^2$
L'unica incognita in questa euqazione è $h$. i risultati saranno 2, ed uno solo avrà sgnificato fisico rispetto al sistema.
Ho commesso qualche errore? perchè svolgendo i calcoli, non ottengo i risultati del libro.
Risposte
Parti da qui $T=t_c+t_s = t_c+ h/v_s= t_c+ h/(340 m*s^-1)$
visto che sai $T$, e $t_c$ è la ottieni da $h$.
Vedi se di da il risultato del libro...
visto che sai $T$, e $t_c$ è la ottieni da $h$.
Vedi se di da il risultato del libro...
"Flamber":
Ho commesso qualche errore? perchè svolgendo i calcoli, non ottengo i risultati del libro.
Il procedimento è corretto. Probabilmente hai sbagliato i calcoli.
Grazie ad entrambi. facendo qualche calcolo, anche applicando il metodo che ho applicato io si arriva a quanto suggerito da Stellinelm.
L'importante è che siano sbagliati solo i calcoli. (lo ammetto è una frase che si addice poco ad ingegneria)
L'importante è che siano sbagliati solo i calcoli. (lo ammetto è una frase che si addice poco ad ingegneria)
Dovresti renderti conto che non ci sono due metodi diversi di calcolo, il procedimento è sostanzialmente lo stesso:
$T = t_c +t_s = sqrt((2h)/g) + h/v_s$
quindi : $sqrt((2h)/g) = T - h/v_s$
elevando al quadrato : $ (2h)/(g) = (T - h/v_s)^2 $
Risolvi questa eq di 2º grado in $h$ , e scarta una radice.
$T = t_c +t_s = sqrt((2h)/g) + h/v_s$
quindi : $sqrt((2h)/g) = T - h/v_s$
elevando al quadrato : $ (2h)/(g) = (T - h/v_s)^2 $
Risolvi questa eq di 2º grado in $h$ , e scarta una radice.
si certo, alla fine l'equazione che si ottiene, dalla quale ricavare $h$, è sempre la stessa.
Nel caso suggeritomi, si parte dall'equazione generale di un moto uniformemente accelerato, si ricava t, e si uguaglia al tempo totale meno il tempo che impiega il suono a percorrere quella distanza.
Nell'altro caso, che è quello che m è sembrato più intuitivo (ma magari ad altri sembra più intuitivo l'altro), ho scritto l'equazione generale, ma in funzione di $T-h/v_s$, ed ho uguagliato l'equazione a 0.
Più che di metodi diversi, devo essermi espresso male, parlavo di due percorsi mentali diversi, che portano, come giustamente dici, non solo allo stesso risultato, ma anche allo stesso calcolo.
Nel caso suggeritomi, si parte dall'equazione generale di un moto uniformemente accelerato, si ricava t, e si uguaglia al tempo totale meno il tempo che impiega il suono a percorrere quella distanza.
Nell'altro caso, che è quello che m è sembrato più intuitivo (ma magari ad altri sembra più intuitivo l'altro), ho scritto l'equazione generale, ma in funzione di $T-h/v_s$, ed ho uguagliato l'equazione a 0.
Più che di metodi diversi, devo essermi espresso male, parlavo di due percorsi mentali diversi, che portano, come giustamente dici, non solo allo stesso risultato, ma anche allo stesso calcolo.
Salve a tutti. Scrivo qui dato che ho lo stesso identico problema con gli stessi dati ma non riesco a trovare il risultato corretto. Il ragionamento che ho fatto è quello riportato all'inizio di questa discussione, ho solo cambiato il sistema di riferimento (cioè ho posto l'asse con origine alla cima del pozzo e verso rivolto verso il fondo del pozzo).
Comunque riporto tutti i passaggi che ho fatto:
1) Il tempo totale è uguale al tempo di caduta più il tempo di 'risalita' del suono: $ T = tc +ts $
2) Chiamo il punto in fondo al pozzo $ x1 $; il sasso si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione $ g $ e la sua legge rispetto al tempo è: $ x1 = x0 + v0 * (tc) + 1/2 * g * (tc)^2 $
da cui siccome $ x1 - x0 = h $ e $ v0 = 0 $
rimane $ h = 1/2 * g * (tc)^2 $
e quindi $ tc = sqrt((2h)/g) $
3) Il suono invece si muove di moto rettilineo uniforme partendo dal fondo del pozzo $ x1 $ e arrivando in cima in $ x0 $:
$ x0 = x1 + vs * ts $ da cui si ottiene
$ x0 - x1 = vs * ts $ e quindi
$ -h = vs * ts $ infine $ ts = -h/(vs) $
4) A questo punto posso tornare all'equazione del punto (1) e ottengo che: $ T = sqrt((2h)/g) - h/(vs) $
5) Elevo al quadrato e ottengo l'equazione: $ (2h)/(g) = T^2 +(h^2)/(vs^2) + (2*T*h)/(vs) $ da cui
$ h^2/(vs)^2 +2h*(T/(vs) - 1/g) + T^2 $ risolvo rispetto ad h e in teoria dovrei avere il risultato.
Il problema è che ho provato a fare i calcoli più volte (in modi diversi dato che non mi veniva mai quello giusto, ad esempio mi è venuto 81.6 metri o 62 metri) ma niente. Ho sbagliato qualcosa nel ragionamento o nelle equazioni? Il risultato corretto che c'è sul libro è 99.5 metri. Grazie per le risposte.
Comunque riporto tutti i passaggi che ho fatto:
1) Il tempo totale è uguale al tempo di caduta più il tempo di 'risalita' del suono: $ T = tc +ts $
2) Chiamo il punto in fondo al pozzo $ x1 $; il sasso si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione $ g $ e la sua legge rispetto al tempo è: $ x1 = x0 + v0 * (tc) + 1/2 * g * (tc)^2 $
da cui siccome $ x1 - x0 = h $ e $ v0 = 0 $
rimane $ h = 1/2 * g * (tc)^2 $
e quindi $ tc = sqrt((2h)/g) $
3) Il suono invece si muove di moto rettilineo uniforme partendo dal fondo del pozzo $ x1 $ e arrivando in cima in $ x0 $:
$ x0 = x1 + vs * ts $ da cui si ottiene
$ x0 - x1 = vs * ts $ e quindi
$ -h = vs * ts $ infine $ ts = -h/(vs) $
4) A questo punto posso tornare all'equazione del punto (1) e ottengo che: $ T = sqrt((2h)/g) - h/(vs) $
5) Elevo al quadrato e ottengo l'equazione: $ (2h)/(g) = T^2 +(h^2)/(vs^2) + (2*T*h)/(vs) $ da cui
$ h^2/(vs)^2 +2h*(T/(vs) - 1/g) + T^2 $ risolvo rispetto ad h e in teoria dovrei avere il risultato.
Il problema è che ho provato a fare i calcoli più volte (in modi diversi dato che non mi veniva mai quello giusto, ad esempio mi è venuto 81.6 metri o 62 metri) ma niente. Ho sbagliato qualcosa nel ragionamento o nelle equazioni? Il risultato corretto che c'è sul libro è 99.5 metri. Grazie per le risposte.
"Masterbug":
Salve a tutti. Scrivo qui dato che ho lo stesso identico problema con gli stessi dati ma non riesco a trovare il risultato corretto.
……..
1) Il tempo totale è uguale al tempo di caduta più il tempo di 'risalita' del suono: $ T = tc +ts $
4) A questo punto posso tornare all'equazione del punto (1) e ottengo che: $ T = sqrt((2h)/g) - h/(vs) $
……..
L'errore è nel segno $-$ dell'ultima equazione scritta.
Se assumi l'asse orientato verso il basso, devi mettere il segno $-$ anche a $v_s$ , cioè l'ultimo termine è $(-h)/(-v_s)$.
Potrà mai essere negativo $ts$ ?
Stai avendo a che fare con due vettori : $vech = -hveci$ , e $ vecv_s = -v_sveci$ .
Speso gli studenti confondono i moduli dei vettori con le componenti, che invece hanno un segno.
Grazie mille, quel segno mi era proprio sfuggito 
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