Un razzo in fuga dalla terra

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10 ott 2015, 15:47

Vi propongo un esercizio che spero risulti interessante.
Immaginiamo di progettare un razzo destinato a uscire dall'attrazione terrestre per andare a vagare nell'universo.
Facciamo le seguenti ipotesi semplificative:

-l'unica forza gravitazionale significativa sia quella della terra
-si supponga la terra immobile e non in rotazione
-il razzo decolla verticalmente e segue una rotta rettilinea
-si facciano i calcoli come se non ci fosse aria

Dati del problema:
$$\eqalign{
& {{\text{m}}_0}{\text{ = massa iniziale del razzo}} \cr
& {\text{m = massa corrente del razzo}} \cr
& \dot m{\text{ = variazione temporale di massa (negativa) del razzo dovuta alla combustione del propellente}} \cr
& \dot m = - \frac{m}
{T}{\left( {\frac{R}
{r}} \right)^2} \cr
& {\text{(la portata dei gas di scarico viene regolata dal computer di bordo in modo da diminuire}} \cr
& {\text{in valore assoluto col diminuire della massa del razzo e col diminuire della forza}} \cr
& {\text{di attrazione terrestre)}} \cr
& \left| {{{\text{v}}_{gr}}} \right|{\text{ = }}5000{\text{ m/s (velocità costante relativa dei gas di scarico)}} \cr
& {\text{R = 6}}{\text{.371 Km (raggio terrestre) }} \cr
& {\text{T = 255 s (tempo di consumo del propellente a regime massimo) }} \cr
& {\text{r = distanza del razzo dal centro della terra}} \cr} $$

Si vuole raggiungere la velocità di fuga, ovvero la velocità sufficiente a sfuggire all'attrazione terrestre. Si chiede di calcolare:
-la distanza r dal centro della terra alla quale viene raggiunta la velocità di fuga (a quel punto, dunque, i motori possono venire spenti)
-Il valore vf di questa velocità di fuga
-il rapporto m/m0 di massa al raggiungimento della velocità di fuga
-il rendimento energetico $\eta $, ovvero il rapporto tra l'energia meccanica totale del razzo al raggiungimento della velocità di fuga e l'energia spesa dal motore fino a quel momento
-l'accelerazione massima del razzo
-il tempo necessario a raggiungere la velocità di fuga (quest'ultimo calcolo può anche venire soltanto impostato perché abbastanza oneroso da eseguire)