Un problema di termodinamica (cdl in matematica)
Apro una discussione "gemella" di
un-problema-di-meccanica-cdl-in-matematica-t81644.html
con oggetto
http://www.fisica.uniba.it/augelli/prov ... 0gen07.pdf
Questo volta argomento di discussione è il problema di termodinamica (starete pensando che sono un totale incompetente dato che ho fatto l'en plein con questa traccia e probabilmente avete ragione, ma non mi era mai capitato di svolgere una prova in maniera così disastrosa!).
Tanto per cominciare cosa si intende per "assorbendo una potenza di..."? Significa che assorbe un lavoro di 2kJ al secondo (e dunque 400J a ciclo, visto che la macchina compie 5 cicli al secondo)?
Poi la massa d'acqua non può considerarsi una sorgente, visto che deve cambiare la temperatura portandosi da 273.16 a 273.15 K per congelare!
Caso 1
Il calore complessivo che T1 deve cedere vale in modulo
$Q=mc_(acqua)(T_0-T_1)+lambdam=0.210*4186*0.01+0.210*33*10^5=692,991 kJ$
Dunque T1 cede -Q1 e la macchina assorbe Q1.
Poi dal primo principio della termodinamica abbiamo che ad ogni ciclo $W=Q1+Q2$ (ove $Q_i$ è il calore scambiato con la sorgente $T_i$ e W è il lavoro scambiato dalla macchina, assorbito essendo frigorifera).
Inoltre:
$DeltaS_u=0.8 J/K=DeltaS_(ambiente)$ ad ogni ciclo visto che $DeltaS_(sistema)=0$ per un ciclo.
Ed ora? Come faccio a sapere se nel primo ciclo si assorbe calore a sufficienza per portare l'acqua alla temperatura di solidificazione?
Ad es. per il primo ciclo, ipotizzando che la macchina assorba più del calore necessario a portare l'acqua a T_0:
$DeltaS_(amb)=-(m*c*ln(T_0/T_1)+lambda*m/T_0)-Q_2/T_2$ dove $Q_2=W-Q_1$
Ma anche no!
Help me, please.
Grazie.
un-problema-di-meccanica-cdl-in-matematica-t81644.html
con oggetto
http://www.fisica.uniba.it/augelli/prov ... 0gen07.pdf
Questo volta argomento di discussione è il problema di termodinamica (starete pensando che sono un totale incompetente dato che ho fatto l'en plein con questa traccia e probabilmente avete ragione, ma non mi era mai capitato di svolgere una prova in maniera così disastrosa!).
Tanto per cominciare cosa si intende per "assorbendo una potenza di..."? Significa che assorbe un lavoro di 2kJ al secondo (e dunque 400J a ciclo, visto che la macchina compie 5 cicli al secondo)?
Poi la massa d'acqua non può considerarsi una sorgente, visto che deve cambiare la temperatura portandosi da 273.16 a 273.15 K per congelare!
Caso 1
Il calore complessivo che T1 deve cedere vale in modulo
$Q=mc_(acqua)(T_0-T_1)+lambdam=0.210*4186*0.01+0.210*33*10^5=692,991 kJ$
Dunque T1 cede -Q1 e la macchina assorbe Q1.
Poi dal primo principio della termodinamica abbiamo che ad ogni ciclo $W=Q1+Q2$ (ove $Q_i$ è il calore scambiato con la sorgente $T_i$ e W è il lavoro scambiato dalla macchina, assorbito essendo frigorifera).
Inoltre:
$DeltaS_u=0.8 J/K=DeltaS_(ambiente)$ ad ogni ciclo visto che $DeltaS_(sistema)=0$ per un ciclo.
Ed ora? Come faccio a sapere se nel primo ciclo si assorbe calore a sufficienza per portare l'acqua alla temperatura di solidificazione?
Ad es. per il primo ciclo, ipotizzando che la macchina assorba più del calore necessario a portare l'acqua a T_0:
$DeltaS_(amb)=-(m*c*ln(T_0/T_1)+lambda*m/T_0)-Q_2/T_2$ dove $Q_2=W-Q_1$
Ma anche no!
Help me, please.
Grazie.
Risposte
Secondo me devi considerare fissa la temperatura della sorgente fredda a 273.16 K (non è detta la pressione a cui si trova l'acqua e credo si voglia assumere di essere al punto triplo dell'acqua, da come è scritto il problema), altrimenti se la temperatura della sorgente fredda cambiasse mi pare strano che la macchina determinerebbe una variazione fissa di entropia per ciclo.. Per la potenza credo ci si riferisca alla potenza da fornire al motore della macchina frigorifera.
Io ragionerei così:
$Q_2$ (calore da assorbire all'acqua in totale) lo conosci, $Q_1$ lo calcoli imponendo che l'entropia dell'universo vari di quella quantità imposta. Conoscendo però la variazione di entropia per ciclo $Q_1$ risulterà funzione del numero di cicli incognito.
Noto $Q_2$ sapendo che $Q_1 + L=Q_2$ calcoli $L$, sempre funzione del numero di cicli incognito.
A questo punto nota la potenza, il numero di cicli al secondo e il lavoro appena calcolato, funzione del numero di cicli, calcoli quello che ti manca.
Io ragionerei così:
$Q_2$ (calore da assorbire all'acqua in totale) lo conosci, $Q_1$ lo calcoli imponendo che l'entropia dell'universo vari di quella quantità imposta. Conoscendo però la variazione di entropia per ciclo $Q_1$ risulterà funzione del numero di cicli incognito.
Noto $Q_2$ sapendo che $Q_1 + L=Q_2$ calcoli $L$, sempre funzione del numero di cicli incognito.
A questo punto nota la potenza, il numero di cicli al secondo e il lavoro appena calcolato, funzione del numero di cicli, calcoli quello che ti manca.
Allora, se considero fissa la temperatura dell'acqua la situazione dovrebbe essere la seguente:
· P=2 kW la potenza assorbita dalla macchina, ovvero la macchina assorbe 2 kJ al secondo e, poiché la macchina compie 5 ciclo al secondo, si ha che la macchina assorbe un lavoro di 400 J a ciclo (W=-400 J, W assorbito => W<0);
· per ogni ciclo
$\{(DeltaS_u=DeltaS_(amb)=0.8=-Q_1/T_1-Q_2/T_2),(Q_1+Q_2=W=-400):}$
ove $Q_i$ è il calore scambiato (dal punto di vista della macchina) con la sorgente i-esima ($Q_1>0$ assorbito e $Q_2<0$ ceduto)
$=>\{(Q_1=277,181 J),(Q_2=-677,181 J):}$ per ogni ciclo;
· ora il calore totale necessario per il passaggio di stato è $Q=mlambda=0.21*33*10^5=693000 J$,
pertanto, detto n il numero di cicli, si ha:
$Deltat=n/f$$=(Q/Q_1)/f$$=(693000/277.181)/5=2500/5=500 s =8 min 20 s$
Se invece si volesse tener conto che la temperatura di solidificazione dell'acqua in condizioni di pressione standard (che di solito si sottintendono quando non specificato diversamente)?
In tal caso il calore totale da assorbire sarebbe: $Q=mc(T_1-T_0)+lambdam=0.21*4186*0.01+33*10^5*0.21=693009J$
Per il primo ciclo (vale sempre la considerazione riguardo la potenza e il lavoro scambiato per ciclo):
$\{(DeltaS_u=0.8=DeltaS_(amb)=m*c*ln(T_0/T_1)-(lambda*m')/T_0-(Q_2)/(T_2)),(W=-400=Q_1+Q_2=m*c*(T1-T0)+lambda*m'+Q_2):}$
ove
$T_0=273.15 K$
$m'$ è la massa d'acqua che si riesce a congelare durante il primo ciclo
$Q_1>0$ calore assorbito dalla macchina dalla sorgente $T_1$
$Q_2<0$ calore ceduto dalla macchina alla sorgente $T_2$
=>$m'=8.1*10^-5 kg$ (se la mia TI-89 Titanium non ha sbagliato i conti, o meglio se io ho digitato tutto correttamente
)
Per tutti i cicli seguenti:
$\{(DeltaS_u=0.8=DeltaS_(amb)=-(lambda*m'')/T_0-(Q_2)/(T_2)),(W=-400=Q_1+Q_2=lambda*m"+Q_2):}$
ove $m''$ è la massa d'acqua che si riesce a congelare durante il ciclo i-esimo (i=2,3,...)
$=>m''=8.4*10^-5 kg$
Dunque, detto n il numero di cicli:
$n=1+(m-m')/(m'')=1+(0.21-8.1*10^-5)/(8.4*10^-5)=2500.04$
da cui
$Deltat=n/f$$=2500.04/5=500.007 s$ che è praticamente lo stesso risultato di prima a parte 7 millesimi di secondo!
Dopo tutta questa faticaccia, probabilmente agire come fatto in prima istanza è la cosa più sensata.
· P=2 kW la potenza assorbita dalla macchina, ovvero la macchina assorbe 2 kJ al secondo e, poiché la macchina compie 5 ciclo al secondo, si ha che la macchina assorbe un lavoro di 400 J a ciclo (W=-400 J, W assorbito => W<0);
· per ogni ciclo
$\{(DeltaS_u=DeltaS_(amb)=0.8=-Q_1/T_1-Q_2/T_2),(Q_1+Q_2=W=-400):}$
ove $Q_i$ è il calore scambiato (dal punto di vista della macchina) con la sorgente i-esima ($Q_1>0$ assorbito e $Q_2<0$ ceduto)
$=>\{(Q_1=277,181 J),(Q_2=-677,181 J):}$ per ogni ciclo;
· ora il calore totale necessario per il passaggio di stato è $Q=mlambda=0.21*33*10^5=693000 J$,
pertanto, detto n il numero di cicli, si ha:
$Deltat=n/f$$=(Q/Q_1)/f$$=(693000/277.181)/5=2500/5=500 s =8 min 20 s$
Se invece si volesse tener conto che la temperatura di solidificazione dell'acqua in condizioni di pressione standard (che di solito si sottintendono quando non specificato diversamente)?
In tal caso il calore totale da assorbire sarebbe: $Q=mc(T_1-T_0)+lambdam=0.21*4186*0.01+33*10^5*0.21=693009J$
Per il primo ciclo (vale sempre la considerazione riguardo la potenza e il lavoro scambiato per ciclo):
$\{(DeltaS_u=0.8=DeltaS_(amb)=m*c*ln(T_0/T_1)-(lambda*m')/T_0-(Q_2)/(T_2)),(W=-400=Q_1+Q_2=m*c*(T1-T0)+lambda*m'+Q_2):}$
ove
$T_0=273.15 K$
$m'$ è la massa d'acqua che si riesce a congelare durante il primo ciclo
$Q_1>0$ calore assorbito dalla macchina dalla sorgente $T_1$
$Q_2<0$ calore ceduto dalla macchina alla sorgente $T_2$
=>$m'=8.1*10^-5 kg$ (se la mia TI-89 Titanium non ha sbagliato i conti, o meglio se io ho digitato tutto correttamente
)Per tutti i cicli seguenti:
$\{(DeltaS_u=0.8=DeltaS_(amb)=-(lambda*m'')/T_0-(Q_2)/(T_2)),(W=-400=Q_1+Q_2=lambda*m"+Q_2):}$
ove $m''$ è la massa d'acqua che si riesce a congelare durante il ciclo i-esimo (i=2,3,...)
$=>m''=8.4*10^-5 kg$
Dunque, detto n il numero di cicli:
$n=1+(m-m')/(m'')=1+(0.21-8.1*10^-5)/(8.4*10^-5)=2500.04$
da cui
$Deltat=n/f$$=2500.04/5=500.007 s$ che è praticamente lo stesso risultato di prima a parte 7 millesimi di secondo!
Dopo tutta questa faticaccia, probabilmente agire come fatto in prima istanza è la cosa più sensata.
Mi sembra tutto ok. A me era venuto in mente un approccio leggermente diverso ma equivalente (credo dal punto di vista dei conti cambia poco o nulla).
Come ti dicevo sono convinto che in questo esercizio la temperatura dell'acqua fosse da considerare costante, ma ottimo è stato il cimentarsi nel caso più complesso!
Come ti dicevo sono convinto che in questo esercizio la temperatura dell'acqua fosse da considerare costante, ma ottimo è stato il cimentarsi nel caso più complesso!
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