Un problema di dinamica rotazionale
Un cilindro pieno ed omogeneo,di raggio R,rotola
(senza strisciare) con velocita' Vo
su di un piano orizzontale che e'
seguito da un piano inclinato(verso il basso) di un angolo "alfa" rispetto all'orizzontale.
Si chiede di calcolare il massimo valore di Vo
con cui il cilindro puo'affrontare l'inizio della
discesa senza saltare.Su i due piani non v'e' attrito.
Nota personale:
la risposta e' Vo(max)=sqrt((7cos(alfa)-4)gR/3).
Malgrado i miei numerosi tentativi,questo risultato
mi rimane oscuro(forse c'e' qualche interpretazione fisica
che mi sfugge).
karl.
Modificato da - karl il 22/12/2003 15:20:11
(senza strisciare) con velocita' Vo
su di un piano orizzontale che e'
seguito da un piano inclinato(verso il basso) di un angolo "alfa" rispetto all'orizzontale.
Si chiede di calcolare il massimo valore di Vo
con cui il cilindro puo'affrontare l'inizio della
discesa senza saltare.Su i due piani non v'e' attrito.
Nota personale:
la risposta e' Vo(max)=sqrt((7cos(alfa)-4)gR/3).
Malgrado i miei numerosi tentativi,questo risultato
mi rimane oscuro(forse c'e' qualche interpretazione fisica
che mi sfugge).
karl.
Modificato da - karl il 22/12/2003 15:20:11
Risposte
Mhh... c'è qualche cosa che non mi convince... cosa hai imposto per trovare V0? Non servono i calcoli, basta l'idea.
In verita' non ho imposto niente:Vo(max) e'la
soluzione indicata nel testo da cui ho tratto il problema.
Altro non c'e' sul libro;mi aspetto una risposta
dagli amici del forum per togliermi questa
...spina nel fianco.
karl.
soluzione indicata nel testo da cui ho tratto il problema.
Altro non c'e' sul libro;mi aspetto una risposta
dagli amici del forum per togliermi questa
...spina nel fianco.
karl.
Ragazzi, fatemi sapere la risposta perchè questo esercizio ha qualcosa di assai interessante... Purtroppo la mia mente non è ancora tarata sulla frequenza d'onda della scienza (vengo dal liceo classico) per cui non riesco a trovare una soluzione a questo cilindro che rotola, ma mi sono oramai incuirosito, e voglio sapere che fine fa!
P.S. L'attrito ci deve essere per forza, sennò come fa a rotolare?
Quello che importa e' sapere con quale velocita'
il cilindro deve iniziare la discesa senza saltare
e non quali sono le forze che permettono al cilindro
di rotolare (che non devono essere necessariamente
quelle di attrito).
Tutto questo secondo me;per il resto sono anch'io
in attesa della sospirata soluzione.
karl.
Modificato da - karl il 25/12/2003 14:12:56
il cilindro deve iniziare la discesa senza saltare
e non quali sono le forze che permettono al cilindro
di rotolare (che non devono essere necessariamente
quelle di attrito).
Tutto questo secondo me;per il resto sono anch'io
in attesa della sospirata soluzione.
karl.
Modificato da - karl il 25/12/2003 14:12:56
Sinceramente mi verrebbe da dire che in condizioni ideali (nessuno schiacciamento ecc…) c’è sempre distacco, qualsiasi sia V0.
Facciamo finta che ci sia un raccordo di raggio r tra i due piani. Indicando con ß l’angolo, rispetto all’orizzontale, di distacco, vale la formula:
m g sen(ß) – N = m Vc^2 / r
con N forza normale, da annullare avendo imposto il distacco. Semplifico m e rimane
r g sen(ß) = Vc^2
ma r è nullo nel problema, quindi anche la velocità.
Si può trovare qualche cosa del genere nel problema tuffi pericolosi nella sezione giochi.
WonderP.
P.S. può esserci rotolamento anche senza attrito, basta avere velocità angolare e di traslazione opportunamente rapportate con il raggio.
Facciamo finta che ci sia un raccordo di raggio r tra i due piani. Indicando con ß l’angolo, rispetto all’orizzontale, di distacco, vale la formula:
m g sen(ß) – N = m Vc^2 / r
con N forza normale, da annullare avendo imposto il distacco. Semplifico m e rimane
r g sen(ß) = Vc^2
ma r è nullo nel problema, quindi anche la velocità.
Si può trovare qualche cosa del genere nel problema tuffi pericolosi nella sezione giochi.
WonderP.
P.S. può esserci rotolamento anche senza attrito, basta avere velocità angolare e di traslazione opportunamente rapportate con il raggio.
La forza mv^2/r nasce in presenza di una
curvatura che qui non c'e'.Introdurla all'inizio
per poi ripudiarla subito dopo ponendo r=0
mi sembra una forzatura matematica piu' che fisica.
D'altra parte nel problema non si chiede la
velocita' minima ma quella massima per evitare
il salto:anche l'intuizione suggerisce che
tale massimo c'e' e dipende da alfa.
(Se prendiamo per buona la risposta del libro
Vo(max) e' nulla solo per inclinazioni
tali che cos(alfa)=4/7-->alfa=55 gradi(circa).)
Salvo possibilissimi errori da parte mia.
karl.
curvatura che qui non c'e'.Introdurla all'inizio
per poi ripudiarla subito dopo ponendo r=0
mi sembra una forzatura matematica piu' che fisica.
D'altra parte nel problema non si chiede la
velocita' minima ma quella massima per evitare
il salto:anche l'intuizione suggerisce che
tale massimo c'e' e dipende da alfa.
(Se prendiamo per buona la risposta del libro
Vo(max) e' nulla solo per inclinazioni
tali che cos(alfa)=4/7-->alfa=55 gradi(circa).)
Salvo possibilissimi errori da parte mia.
karl.
Ok, ammettiamo che sia una forzatura matematica e cerchiamo un’altra soluzione (io non la so ci si deve ragionare un po’). Nel momento in cui c’è il cambio di pendenza (e ho solo velocità orizzontale) cosa tiene il cilindro schiacciato sul piano inclinato? Qui per me sta l’inghippo…
comunque stamo cercando la velocità oltre la quale c'è distacco
comunque stamo cercando la velocità oltre la quale c'è distacco
Ok, giusto per peggiorarvi la situazione, ho un paio di cose da chiedere: innanzitutto, karl, è questa la soluzione del libro?
perchè in tal caso, non mi torna una cosa: supponiamo che l'angolo alfa sia 0 e il raggio 1m, perchè mai ci dorvrebbe essere una velocità massima pari a
in teoria dovrebbe essere infinita, no? (spero di non dire boiate)
In secondo luogo credo di essere daccordo con karl nel momento in cui asserisce che non si può considerare la curvatura. Nell'esercizio non viene specificato, e sono sicuro si tratti di un angolo, eppure... Bah!
Se alfa=0 il secondo piano non e' piu' inclinato
e fa corpo unico col primo ;il problema
non si pone piu' e la formula non e' piu' valida.
Presumo quindiche la risposta del libro,da cui ho tratto
il quesito, sia stata calcolata con l' ipotesi
alfa<>0.
Modificato da - karl il 22/12/2003 20:59:57
e fa corpo unico col primo ;il problema
non si pone piu' e la formula non e' piu' valida.
Presumo quindiche la risposta del libro,da cui ho tratto
il quesito, sia stata calcolata con l' ipotesi
alfa<>0.
Modificato da - karl il 22/12/2003 20:59:57
aggiungo un punto di vista diverso:
1 - SE dopo il piano orizz. ci fosse un salto nel vuoto, il baricentro del corpo rotolante proseguirebbe la caduta con una parabola (secondo le leggi balistiche insegnate ai liceali, con attenzione all'energia cin. del corpo in rotaz.)
2 - questa parabola sarebbe tengente alla traiettoria nel punto di distacco.
3 - oltre alla tangente, nessun'altra retta (piano) passante per il punto di distacco interseca la parabola "senza salti"; è una questione geometrica, non fisica.
4 - in altre parole, come diceva WonderP all'inizio del suo secondo msg.
(prima di tirare in ballo la solita forza centrifuga m*v^2/r, che piace sempre a tanti, ma che, secondo me, raramente ha a che fare col problema)
il salto c'è sempre; su questo sono perfettamente d'accordo con WonderP.
sbaglio?
sentiamo altri pareri, perchè ho l'impressione di aver confuso la situazione.
tony
*Edited by - tony on 23/12/2003 02:14:36
1 - SE dopo il piano orizz. ci fosse un salto nel vuoto, il baricentro del corpo rotolante proseguirebbe la caduta con una parabola (secondo le leggi balistiche insegnate ai liceali, con attenzione all'energia cin. del corpo in rotaz.)
2 - questa parabola sarebbe tengente alla traiettoria nel punto di distacco.
3 - oltre alla tangente, nessun'altra retta (piano) passante per il punto di distacco interseca la parabola "senza salti"; è una questione geometrica, non fisica.
4 - in altre parole, come diceva WonderP all'inizio del suo secondo msg.
(prima di tirare in ballo la solita forza centrifuga m*v^2/r, che piace sempre a tanti, ma che, secondo me, raramente ha a che fare col problema)
il salto c'è sempre; su questo sono perfettamente d'accordo con WonderP.
sbaglio?
sentiamo altri pareri, perchè ho l'impressione di aver confuso la situazione.
tony
*Edited by - tony on 23/12/2003 02:14:36
Consideriamo prima di tutto il cilindro sul piano orizzontale.
Il suo momento d'inerzia vale:
I = (1/2)MR^2
L'energia cinetica K vale allora:
K = (1/2)Mv0^2 + (1/2)Ip^2
dove p è la velocità angolare di rotazione. Siccome il cilindro non striscia:
pR = v0
quindi:
K = (1/2)Mv0^2 + (1/4)Mv0^2 = (3/4)Mv0^2
L'energia totale del cilindro sarà:
E = U + K = MgR + (3/4)Mv0^2
Quando il cilindro arriva sullo spigolo (istante t0) il punto di contatto con lo scivolo fa da perno finchè il raggio passante per tale perno è perpendicolare al piano inclinato (istante t1). Dopodiché ricomincerà a rotolare verso valle. Nell'istante t1 la quota dell'asse del cilindro (quota misurata su un asse y perpendicolare al piano orizzontale e con origine sul piano stesso) vale R*cos(alfa). L'energia in t1 vale allora:
E(t1) = MgRcos(alfa) + (3/4)Mv^2
Per la conservazione dell'energia:
E(t0) = E(t1)
ricaviamo v:
v = sqrt( (4/3)gR(1-cos(alfa)) + v0^2 )
Tra t0 e t1 è come se una massa puntiforme di massa M si muovesse di moto circolare uniforme di raggio R. Allora le forze agenti lungo la perpendicolare al piano inclinato sono la forza peso e la forza centrifuga. Imponiamo che la loro somma sia negativa o nulla. Altrimenti il cilindro si solleverebbe dal piano inclinato.
-Mgcos(alfa) + M[ (4/3)g(1-cos(alfa)) + (v0^2)/R ] < 0
(in grassetto c'è (v^2)/R)
Risolvendo si ottiene:
v0 < sqrt( (Rg/3) * (7cos(alfa)-4) )
e il problema è risolto.
Tutto nasce dal fatto che il cilindro non è un corpo puntiforme!!! E' un po' come se il cilindro, deviando verso il basso, trovasse nel piano inclinato un appoggio... se il piano inclinato è troppo inclinato però non c'è velocità massima che tenga... il cilindro non troverà appoggio (alfa>arccos(4/7))!
Modificato da - goblyn il 23/12/2003 03:34:40
Il suo momento d'inerzia vale:
I = (1/2)MR^2
L'energia cinetica K vale allora:
K = (1/2)Mv0^2 + (1/2)Ip^2
dove p è la velocità angolare di rotazione. Siccome il cilindro non striscia:
pR = v0
quindi:
K = (1/2)Mv0^2 + (1/4)Mv0^2 = (3/4)Mv0^2
L'energia totale del cilindro sarà:
E = U + K = MgR + (3/4)Mv0^2
Quando il cilindro arriva sullo spigolo (istante t0) il punto di contatto con lo scivolo fa da perno finchè il raggio passante per tale perno è perpendicolare al piano inclinato (istante t1). Dopodiché ricomincerà a rotolare verso valle. Nell'istante t1 la quota dell'asse del cilindro (quota misurata su un asse y perpendicolare al piano orizzontale e con origine sul piano stesso) vale R*cos(alfa). L'energia in t1 vale allora:
E(t1) = MgRcos(alfa) + (3/4)Mv^2
Per la conservazione dell'energia:
E(t0) = E(t1)
ricaviamo v:
v = sqrt( (4/3)gR(1-cos(alfa)) + v0^2 )
Tra t0 e t1 è come se una massa puntiforme di massa M si muovesse di moto circolare uniforme di raggio R. Allora le forze agenti lungo la perpendicolare al piano inclinato sono la forza peso e la forza centrifuga. Imponiamo che la loro somma sia negativa o nulla. Altrimenti il cilindro si solleverebbe dal piano inclinato.
-Mgcos(alfa) + M[ (4/3)g(1-cos(alfa)) + (v0^2)/R ] < 0
(in grassetto c'è (v^2)/R)
Risolvendo si ottiene:
v0 < sqrt( (Rg/3) * (7cos(alfa)-4) )
e il problema è risolto.
Tutto nasce dal fatto che il cilindro non è un corpo puntiforme!!! E' un po' come se il cilindro, deviando verso il basso, trovasse nel piano inclinato un appoggio... se il piano inclinato è troppo inclinato però non c'è velocità massima che tenga... il cilindro non troverà appoggio (alfa>arccos(4/7))!
Modificato da - goblyn il 23/12/2003 03:34:40
Bello! Effettivamente io avevo imposto erroneamente r=0 in realtà r=R.
Grazie a tutti quelli che ,con passione ed intelligenza,hanno
collaborato alla risoluzione del problema.
Un grazie particolare va,ovviamente,a goblyn che
ha cosi brillantemente partecipato (..facendo le ore piccole).
karl.
collaborato alla risoluzione del problema.
Un grazie particolare va,ovviamente,a goblyn che
ha cosi brillantemente partecipato (..facendo le ore piccole).
karl.
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