Un problema di corpo rigido
posto un problema di cui non roesco a capire cosa vuole il testo:
Un disco circolare omogeneo di massa M e raggio r è vincolato a rotare in un piano verticale, con velocità angolare costante di modulo $\omega_0$ intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro O. Un'asta metallica, di lunghezza l, massa m=M/3 e sezione trasversale trascurabile viene appoggiata con una delle estremità sul bordo superiore P del disco e su un supporto praticamente puntiforme S situato alla stessa quota di P con $||P-S||=d=2/3l$. Tra asta e disco c'è attrito con coeff. di attrito dinamico $\mu_D$
L'attrito tra asta e supporto S sia trascurabile; si determini il modulo V della velocità dell'asta quando questa si sposta lungo l'orizzontale di un tratto $\Delta = l/6$
Quello che non capisco è come intendere l'attrito dinamico; io sapevo che la ruota nel punto di contatto P con l'asta è "ferma" nel tratto infinitesimo. Per questo l'asta si sposta. Se ci fosse attrito dinamico la ruota scivolerebbe...... almeno credo. Questo punto mi lascia "spiazzato"...posto la risposta del libro
$V =sqrt(2 mu_D g \Delta /d (d+ (\Delta -l)/2))$
Sembra un risultato ricavato da una sorta di bilanciamento dell'energia.... quindi sembrerebbe che questo attrito dinamico sia energia persa
E' il problema 6-19 del libro "Problemi di Meccanica e termodinamica" - Rosati Casali
grazie
Un disco circolare omogeneo di massa M e raggio r è vincolato a rotare in un piano verticale, con velocità angolare costante di modulo $\omega_0$ intorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro O. Un'asta metallica, di lunghezza l, massa m=M/3 e sezione trasversale trascurabile viene appoggiata con una delle estremità sul bordo superiore P del disco e su un supporto praticamente puntiforme S situato alla stessa quota di P con $||P-S||=d=2/3l$. Tra asta e disco c'è attrito con coeff. di attrito dinamico $\mu_D$
L'attrito tra asta e supporto S sia trascurabile; si determini il modulo V della velocità dell'asta quando questa si sposta lungo l'orizzontale di un tratto $\Delta = l/6$
Quello che non capisco è come intendere l'attrito dinamico; io sapevo che la ruota nel punto di contatto P con l'asta è "ferma" nel tratto infinitesimo. Per questo l'asta si sposta. Se ci fosse attrito dinamico la ruota scivolerebbe...... almeno credo. Questo punto mi lascia "spiazzato"...posto la risposta del libro
$V =sqrt(2 mu_D g \Delta /d (d+ (\Delta -l)/2))$
Sembra un risultato ricavato da una sorta di bilanciamento dell'energia.... quindi sembrerebbe che questo attrito dinamico sia energia persa
E' il problema 6-19 del libro "Problemi di Meccanica e termodinamica" - Rosati Casali
grazie
Risposte
Sto uscendo di casa perchè mi attende una lezione di Fisica3, quindi tutta qusta voglia di applicarmi, non c'è!! Però un paio di considerazioni al volo, magari ti aiutano:
1. Si parla di attrito dinamico in quanto ti chiede di considerare la condizione per cui il tuo sostegno si sposta di un tratto$\Delta$, non rimane fermo (io imposterei qualcosa tipo la forza centrifuga = forza centripeta + forza d'attrito)
2. L'idea del bilanciamento dell'energia non è così sballata: essendoci l'attrito vuol dire che parte dell'energia verrà dissipata, per cui l'energia finale sarà uguale a quella iniziale meno il lavoro della forza d'attrito!
1. Si parla di attrito dinamico in quanto ti chiede di considerare la condizione per cui il tuo sostegno si sposta di un tratto$\Delta$, non rimane fermo (io imposterei qualcosa tipo la forza centrifuga = forza centripeta + forza d'attrito)
2. L'idea del bilanciamento dell'energia non è così sballata: essendoci l'attrito vuol dire che parte dell'energia verrà dissipata, per cui l'energia finale sarà uguale a quella iniziale meno il lavoro della forza d'attrito!
scusa ......non capisco nel senso cosa centri la forza centrifuga e la forza centripeta.....sono forze disposte radialmente rispetto al centro del disco. Le forze in gioco che dovrebbero determinare il moto sono le tangenti al cerchio; forse potrebbe essere utile conoscere la reazione vincolare.....
E poi penso che se la sbarra si muove è per l'attrito statico...quello dinamico è di scivolamento in sostanza tutta l'energia del disco se ne va in calore...... e la trave sta ferma..
Utilizzare il bilancio dell'energia sarebbe un po' come dire che nel tratto infinitesimo dello spostamento della ruota una parte dell'energia viene ceduta in moto alla trave ed una parte in calore ovvero $1/2I\omega^2=1/2 m V^2 + F_D \Delta$ ma la parte ceduta in moto sarebbe per attrito statico. Credo che alla fine si potrebbe risolvere così ..cosa ne pensi?
E poi penso che se la sbarra si muove è per l'attrito statico...quello dinamico è di scivolamento in sostanza tutta l'energia del disco se ne va in calore...... e la trave sta ferma..
Utilizzare il bilancio dell'energia sarebbe un po' come dire che nel tratto infinitesimo dello spostamento della ruota una parte dell'energia viene ceduta in moto alla trave ed una parte in calore ovvero $1/2I\omega^2=1/2 m V^2 + F_D \Delta$ ma la parte ceduta in moto sarebbe per attrito statico. Credo che alla fine si potrebbe risolvere così ..cosa ne pensi?
Confesso che questo problema mi lascia alquanto perplesso (per come è enunciato).
Per prima cosa visto che si dice che il disco ruota con velocità angolare costante non si capisce a cosa serve specificare la massa il raggio e la velocità del disco, visto che esso fa solo da traino all'asta che è il vero soggetto del problema (della quale poi non serve a nulla sapere che ha massa 1/3 di quella del disco).
Quanto al risultato poi mi fa davvero scompisciare. Sostituendo tutti quei simboli col loro valore esplicitato nel testo del problema, il risultato diventa semplicemente $V = \sqrt {\frac{\mu _Dgl}{8}} $
Allora qui i casi sono due: o questo è solo una parte di un problema molto più complesso e articolato, oppure i signori Rosati-Casali quando l'hanno inventato erano ubriachi. Sono quasi certo che l'ipotesi buona è la prima.
Per prima cosa visto che si dice che il disco ruota con velocità angolare costante non si capisce a cosa serve specificare la massa il raggio e la velocità del disco, visto che esso fa solo da traino all'asta che è il vero soggetto del problema (della quale poi non serve a nulla sapere che ha massa 1/3 di quella del disco).
Quanto al risultato poi mi fa davvero scompisciare. Sostituendo tutti quei simboli col loro valore esplicitato nel testo del problema, il risultato diventa semplicemente $V = \sqrt {\frac{\mu _Dgl}{8}} $
Allora qui i casi sono due: o questo è solo una parte di un problema molto più complesso e articolato, oppure i signori Rosati-Casali quando l'hanno inventato erano ubriachi. Sono quasi certo che l'ipotesi buona è la prima.
Si in effetti c'è un'altra domanda dove viene detto che tra l'asta e il punto di appoggio S esiste attrito statico e chiede quale deve essere il coeff. statico perchè l'asta non si muova. Io avevo solo riportato la seconda domanda perchè non capivo il senso del problema e come detto nella risposta precedente l'unica cosa che pensavo potesse servire era le legge di bilancio energetico......
Continuo a essere perplesso.
Comunque venendo al modo per risolvere il problema, qua occorre determinare la forza con la quale l'asta viene trascinata dal disco rotante. Questa forza è indipendente dalla velocità del disco, l'unica condizione che serve è che ci sia strisciamento tra i due, e c'è di sicuro visto che nel momento in cui l'asta si appoggia sul disco parte da ferma mentre il disco già ruota.
Per conoscere questa forza di trascinamento è necessario prima conoscere la forza verticale con cui l'asta appoggia sul disco, e qui basta fare il bilancio dei momenti rispetto al punto di scorrimento S. La forza di trascinamento è uguale alla forza verticale di appoggio moltiplicata per il coeff. di attrito.
Fatto il calcolo risulta che questa forza è funzione dell'ascissa x dell'asta. Dunque integrando la forza in dx si ottiene il lavoro che essa fa per spostare l'asta, che è uguale all'energia cinetica acquistata dall'asta. Da qui si risale alla velocità. Molto semplice in realtà, e come si vede i parametri del disco (vel. angolare, massa) non servono a nulla, e nemmeno la massa dell'asta serve perché si semplifica nel bilancio lavoro-energia cinetica.
Comunque venendo al modo per risolvere il problema, qua occorre determinare la forza con la quale l'asta viene trascinata dal disco rotante. Questa forza è indipendente dalla velocità del disco, l'unica condizione che serve è che ci sia strisciamento tra i due, e c'è di sicuro visto che nel momento in cui l'asta si appoggia sul disco parte da ferma mentre il disco già ruota.
Per conoscere questa forza di trascinamento è necessario prima conoscere la forza verticale con cui l'asta appoggia sul disco, e qui basta fare il bilancio dei momenti rispetto al punto di scorrimento S. La forza di trascinamento è uguale alla forza verticale di appoggio moltiplicata per il coeff. di attrito.
Fatto il calcolo risulta che questa forza è funzione dell'ascissa x dell'asta. Dunque integrando la forza in dx si ottiene il lavoro che essa fa per spostare l'asta, che è uguale all'energia cinetica acquistata dall'asta. Da qui si risale alla velocità. Molto semplice in realtà, e come si vede i parametri del disco (vel. angolare, massa) non servono a nulla, e nemmeno la massa dell'asta serve perché si semplifica nel bilancio lavoro-energia cinetica.
quando dici rispetto ad S intendi polo fisso in S?
"brssfn76":
quando dici rispetto ad S intendi polo fisso in S?
Sì. In questo modo la reazione verticale in S (che è sconosciuta ma non è importante) non entra in gioco nel calcolo dell'equilibrio verticale dell'asta, e quindi si può calcolare la reazione in P.
Allora:
$vec(r_p) x vec (\phi_p) + (\vec(r_g)+\vecx) x m vecg =0$
proiettando sull'asse ortogonale al piano del foglio
$-2/3l \phi_p +(2/3 l - l/2 + x)mg =0$ si ottiene $\phi_p = (mg)/(4l) (l+6x)$
E per il lavoro $W= \int_0^\Delta \mu_d (mg)/(4l) (l+6x)dx$ risolvendo $ W = \mu_d mg l/16$ bilanciando con l'energia cinetica
dell'asta $1/2 m v^2 = \mu_d mg l/16 => v = sqrt( \mu_d g l/8)$
Questo vuol dire che che mentre il disco scivola una parte dell'energia viene trasmessa all'asta grazie all'attrito dinamico ed una parte viene rilasciata in calore?
Significherebbe che $1/2 I \omega^2 - W - 1/2 m v^2 = dQ$?
$vec(r_p) x vec (\phi_p) + (\vec(r_g)+\vecx) x m vecg =0$
proiettando sull'asse ortogonale al piano del foglio
$-2/3l \phi_p +(2/3 l - l/2 + x)mg =0$ si ottiene $\phi_p = (mg)/(4l) (l+6x)$
E per il lavoro $W= \int_0^\Delta \mu_d (mg)/(4l) (l+6x)dx$ risolvendo $ W = \mu_d mg l/16$ bilanciando con l'energia cinetica
dell'asta $1/2 m v^2 = \mu_d mg l/16 => v = sqrt( \mu_d g l/8)$
Questo vuol dire che che mentre il disco scivola una parte dell'energia viene trasmessa all'asta grazie all'attrito dinamico ed una parte viene rilasciata in calore?
Significherebbe che $1/2 I \omega^2 - W - 1/2 m v^2 = dQ$?
Quasi.
L'ultima espressione che hai scritto non è giusta, perché $W$ e $1/2mv^2$ sono la stessa cosa, non la puoi sottrarre due volte.
L'energia meccanica iniziale è $1/2I\omega_0^2$ mentre l'energia meccanica finale è $1/2I\omega_1^2+1/2mv^2$; dunque facendo la differenza si ha $\Delta U=1/2[I(\omega_0^2-\omega_1^2)-mv^2]$.
Nota che ho scritto la differenza di energia meccanica non come calore ma come aumento di energia interna del sistema disco + asta, che ha come effetto quello di aumentarne le coordinate termodinamiche (ad esempio la temperatura). Puoi anche considerarlo un sofisma, però a rigore si parla di calore $\DeltaQ$ quando l'energia termica viene scambiata con l'esterno del sistema perché il calore è una grandezza di scambio, non di stato.
L'ultima espressione che hai scritto non è giusta, perché $W$ e $1/2mv^2$ sono la stessa cosa, non la puoi sottrarre due volte.
L'energia meccanica iniziale è $1/2I\omega_0^2$ mentre l'energia meccanica finale è $1/2I\omega_1^2+1/2mv^2$; dunque facendo la differenza si ha $\Delta U=1/2[I(\omega_0^2-\omega_1^2)-mv^2]$.
Nota che ho scritto la differenza di energia meccanica non come calore ma come aumento di energia interna del sistema disco + asta, che ha come effetto quello di aumentarne le coordinate termodinamiche (ad esempio la temperatura). Puoi anche considerarlo un sofisma, però a rigore si parla di calore $\DeltaQ$ quando l'energia termica viene scambiata con l'esterno del sistema perché il calore è una grandezza di scambio, non di stato.
Bhe il testo dice che la velocità angolare rimane costante quindi non penso si possa calcolare il calore speso valutando gli stati iniziali e finali anche perchè al sistema deve essere continuamente fornita energia propria per quanto detto all'inizio....comunque ho capito il senso della relazione e quello da tenere a mente
(credo si debba lavorare sul modello della macchina termica..)
grazie e al prossimo problema che ti preannuncio bello incasinato.....(raba di roulette e palline lanciate... )
(credo si debba lavorare sul modello della macchina termica..)
grazie e al prossimo problema che ti preannuncio bello incasinato.....(raba di roulette e palline lanciate...
)
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