Un oscillatore armonico smorzato, numero di oscillazioni
Un oscillatore armonico smorzato è costituito da un blocco di massa $ m = 1.5 kg$ collegato ad una molla di costante elastica $k = 8.0 N/m$ che si muove in un mezzo che oppone una forza di attrito viscoso $R = -bv$ con $b = 0.23 (kg)/s$.
Determinare il numero di oscillazioni fatte dal blocco nell’intervallo di tempo necessario perché l’ampiezza si riduca a 1/3 del valore iniziale.
$ A e^(-gammaT)Sin(omegat+phi ) = 1/3 A$
$ e^(-gammaT) = 1/3$
$ -gammaT = ln(1/3)$
$ T = ln(1/3)/(-gamma)=ln(1/3)/(-b/(2m)) = 1.0986/0.0766 = 14,342 s$
Per far si che ampiezza si riduca a 1/3 impiega 14,342 s.
Per determinare il numero di oscillazioni pensavo di usare la frequenza:
$ F = 1/T = 1 / 14.342 = 0,069 Hz $
Sapete dirmi dove sto sbagliando nel ragionamento?
Determinare il numero di oscillazioni fatte dal blocco nell’intervallo di tempo necessario perché l’ampiezza si riduca a 1/3 del valore iniziale.
$ A e^(-gammaT)Sin(omegat+phi ) = 1/3 A$
$ e^(-gammaT) = 1/3$
$ -gammaT = ln(1/3)$
$ T = ln(1/3)/(-gamma)=ln(1/3)/(-b/(2m)) = 1.0986/0.0766 = 14,342 s$
Per far si che ampiezza si riduca a 1/3 impiega 14,342 s.
Per determinare il numero di oscillazioni pensavo di usare la frequenza:
$ F = 1/T = 1 / 14.342 = 0,069 Hz $
Sapete dirmi dove sto sbagliando nel ragionamento?
Risposte
Sbagli nell'usare quel tempo per determinare la frequenza delle oscillazioni. 
Allora il tempo che mi sono calcolato cosa indica?
Come dovrei agire per risolvere il problema?
Come dovrei agire per risolvere il problema?
Il tempo che hai calcolato indica il tempo necessario affinché l'ampiezza dell'oscillazione si riduca ad 1/3 del valore iniziale, ma il tempo che devi determinare è quello relativo ad una oscillazione (diciamo $T_x$), che potrai ottenere dalla pulsazione $\omega$; il numero di oscillazioni sarà di conseguenza \(n=T/T_x\).
So che $T=(2pi)/omega = (2pi)sqrt(m/k)= (2pi)/sqrt(omega_{0}^2-gamma^2)$
Ma non capisco come usare $omega$.
Come faccio a determinare il numero di oscillazioni, non dovrei usare la frequenza?
Ma non capisco come usare $omega$.
Come faccio a determinare il numero di oscillazioni, non dovrei usare la frequenza?
"angelok90":
So che $T=(2pi)/omega = (2pi)/sqrt(omega_{0}^2-gamma^2)$
Ma non capisco come usare $omega$.
Usando la relazione che hai scritto.
"angelok90":
... Come faccio a determinare il numero di oscillazioni, ...
Mi sembra di avertelo già detto.
"angelok90":
... non dovrei usare la frequenza? ...
Anche se inconsciamente lo hai fatto usando la relazione che hai scritto.
$T=(2pi)/omega = 1/f$
Ovviamente non confondere l'ultimo T con il primo T; è per questa ragione che ho indicato il periodo con Tx.
Calcolo $T_{\text{tot}} $:
$ A e^(-gammaT)Sin(omegat+phi ) = 1/3 A$
$ e^(-gammaT) = 1/3$
$ -gammaT = ln(1/3)$
$ T = ln(1/3)/(-gamma)=ln(1/3)/(-b/(2m)) = 1.0986/0.0766 = 14.342 s$
Calcolo $T_{\text{x}} $:
1) $ Tx=(2pi)/omega = (2pi)sqrt(m/k) = (2pi)sqrt(1.5/8) = 2.7207$
$ N = T_{\text{tot}} / T_{\text{x}} = 14.342/ 2.7207 = 5.27$
Oppure devo usare questa:
2) $ Tx= (2pi)/sqrt(omega_{0}^2-gamma^2) = (2pi)/sqrt((8/1.5)-(0.23/(2*1.5))^2) = (2pi)/sqrt(5.333-0.00587) = 2.7222$
$ N = T_{\text{tot}} / T_{\text{x}} = 14.342/ 2.7222 = 5.268$
Dici cosi?
$ A e^(-gammaT)Sin(omegat+phi ) = 1/3 A$
$ e^(-gammaT) = 1/3$
$ -gammaT = ln(1/3)$
$ T = ln(1/3)/(-gamma)=ln(1/3)/(-b/(2m)) = 1.0986/0.0766 = 14.342 s$
Calcolo $T_{\text{x}} $:
1) $ Tx=(2pi)/omega = (2pi)sqrt(m/k) = (2pi)sqrt(1.5/8) = 2.7207$
$ N = T_{\text{tot}} / T_{\text{x}} = 14.342/ 2.7207 = 5.27$
Oppure devo usare questa:
2) $ Tx= (2pi)/sqrt(omega_{0}^2-gamma^2) = (2pi)/sqrt((8/1.5)-(0.23/(2*1.5))^2) = (2pi)/sqrt(5.333-0.00587) = 2.7222$
$ N = T_{\text{tot}} / T_{\text{x}} = 14.342/ 2.7222 = 5.268$
Dici cosi?
Sì. 
Come è evidente la relazione finale in 1) e una forma approssimata della 2) che a sua volta è utilizzabile solo nel caso di piccolo smorzamento, condizione che fra l'altro avresti dovuto verificare prima di procedere nei calcoli.
Comunque devi usare la 2).
NB La variabile $T$ era più corretto riservarla al periodo, per l'intervallo di tempo potevi usare $\Delta t$.
Come è evidente la relazione finale in 1) e una forma approssimata della 2) che a sua volta è utilizzabile solo nel caso di piccolo smorzamento, condizione che fra l'altro avresti dovuto verificare prima di procedere nei calcoli.
Comunque devi usare la 2).
NB La variabile $T$ era più corretto riservarla al periodo, per l'intervallo di tempo potevi usare $\Delta t$.
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