Un orologio nel campo gravitazionale
Salve
Mi chiedevo se l'osservazione che porto potesse avere un fondamento o debba essere del tutto scartata.
L'obiettivo e' quello di determinare nel modo piu' semplice possibile la dilatazione temporale in un punto preciso
del campo gravitazionale terrestre.
Prendiamo un punto X del campo gravitazionale e consideriamo in quel punto che l'accelerazione sia = g
Il riferimento e' l'orologio situato al centro della terra che scandisce il tempo t che chiamiamo K.
Ora posizioniamo un altro orologio proprio nel punto X e lo chiamiamo B.
Quando in K passa 1 secondo in B quanto tempo passa?
In B avremo t1*a = v cioe' il secondo misurato da B * l'accelerazione in quel punto sara' uguale alla velocita'
che avrebbe raggiunto dopo il suo secondo che e' uguale in modulo ad a.(Considerando il principio di equivalenza).
Applicando Lorentz a questa velocita' si ottiene che dopo un secondo misurato da K il secondo misurato in B
avra' valore che scaturisce dalla nota formula dei tempi di Lorentz. Uno scarto veramente infinitesimo se consideriamo
che nella formula sopra c quadro in frazione c'e' un valore espresso in metri/sec e di modulo relativamente piccolo
se facciamo riferimento alla nostra terra.
Mi chiedevo se l'osservazione che porto potesse avere un fondamento o debba essere del tutto scartata.
L'obiettivo e' quello di determinare nel modo piu' semplice possibile la dilatazione temporale in un punto preciso
del campo gravitazionale terrestre.
Prendiamo un punto X del campo gravitazionale e consideriamo in quel punto che l'accelerazione sia = g
Il riferimento e' l'orologio situato al centro della terra che scandisce il tempo t che chiamiamo K.
Ora posizioniamo un altro orologio proprio nel punto X e lo chiamiamo B.
Quando in K passa 1 secondo in B quanto tempo passa?
In B avremo t1*a = v cioe' il secondo misurato da B * l'accelerazione in quel punto sara' uguale alla velocita'
che avrebbe raggiunto dopo il suo secondo che e' uguale in modulo ad a.(Considerando il principio di equivalenza).
Applicando Lorentz a questa velocita' si ottiene che dopo un secondo misurato da K il secondo misurato in B
avra' valore che scaturisce dalla nota formula dei tempi di Lorentz. Uno scarto veramente infinitesimo se consideriamo
che nella formula sopra c quadro in frazione c'e' un valore espresso in metri/sec e di modulo relativamente piccolo
se facciamo riferimento alla nostra terra.
Risposte
Un orologio fermo sulla cima di una montagna alta $h$ va più in fretta di un orologio posto alla base della montagna.
Il fattore per cui occorre moltiplicare la frequenza $\nu_b$ dell'orologio in basso, per ottenere la frequenza dell'orologio in alto $\nu_h$, è dato da : $(1+(gh)/c^2)$.
La velocità e le trasformazioni di Lorentz non c'entrano.
Se vuoi, puoi trovare il calcolo di quanto sopra in un libretto che riporta le "Sei lezioni meno facili" di R. Feynman, ed. Adelphi, tratte dalle sue celebri "Lectures on Physics" .
Il fattore per cui occorre moltiplicare la frequenza $\nu_b$ dell'orologio in basso, per ottenere la frequenza dell'orologio in alto $\nu_h$, è dato da : $(1+(gh)/c^2)$.
La velocità e le trasformazioni di Lorentz non c'entrano.
Se vuoi, puoi trovare il calcolo di quanto sopra in un libretto che riporta le "Sei lezioni meno facili" di R. Feynman, ed. Adelphi, tratte dalle sue celebri "Lectures on Physics" .
"navigatore":
La velocità e le trasformazioni di Lorentz non c'entrano...
Il metodo proposto e' del tutto particolare e forse sbagliato ma mi chiedevo dove fosse la falla.
Prova a pensare al principio di equivalenza.
Mantengo in un campo gravitazionale un orologio la' dove l'accelerazione e' es:g per 60 secondi.
E' come, proprio per il principio di equivalenza ,accelerarlo per 60 secondi con accelerazione g.
Avrebbe velocita' = 60 g.
Cioe' il t subirebbe le stesse variazioni sia che l'orologio subisca un accelerazione g per 60 sec e sia che venga posizionato nel campo gravitazionale la' dove l'accelerazione e' g sempre per 60 sec.
Quali sono queste variazioni ?
Come applichiamo le TL al disco rotante pensavo che si potesse fare anche qui visto l'equivalenza di tutti i sistemi non inerziali.
Comincia a venirmi il mal di testa.....
La velocità avrebbe l'effetto relativistico di rallentare l'orologio in moto. E poi comunque sarebbe una velocità variabile nel tempo essendo il moto accelerato...Non mi sembra corretto. Se vuoi il solo effetto gravitazionale, lo devi lasciare fermo nel campo alla quota $h$, al potenziale gravitazionale corrispondente.
E poi, scusa, che vuol dire : " vista l'equivalenza di tutti i riferimenti non inerziali" ? Il principio di equivalenza non dice mica questo.
Il principio di equivalenza nella sua forma "forte" o di Einstein ( qualche teorico fa ancora una distinzione tra i due) dice che : " In ogni punto dello spaziotempo è possibile individuare un sistema di riferimento inerziale locale, che è non rotante e in caduta libera nel campo gravitazionale ivi esistente, nel quale le leggi della Fisica assumono la forma che compete loro in Relatività Ristretta."
In altri termini, lo spaziotempo dentro il LIF ( local inertial frame) è piatto come in RR. Quindi : piattezza locale, curvatura globale.E da un punto ad un altro dello spaziotempo il LIF cambia, in funzione dei campi gravitazionali. Perciò non è vero che tutti i riferimenti non inerziali sono equivalenti.
Questa piattezza locale però è vera solo al primo ordine, perché se si va a considerare gli effetti del secondo ordine si vede che due geodetiche inizialmente parallele non rimangono tali, subiscono la "deviazione geodetica", che trattata matematicamente porta diritti al tensore di curvatura di Riemann.
E poi, scusa, che vuol dire : " vista l'equivalenza di tutti i riferimenti non inerziali" ? Il principio di equivalenza non dice mica questo.
Il principio di equivalenza nella sua forma "forte" o di Einstein ( qualche teorico fa ancora una distinzione tra i due) dice che : " In ogni punto dello spaziotempo è possibile individuare un sistema di riferimento inerziale locale, che è non rotante e in caduta libera nel campo gravitazionale ivi esistente, nel quale le leggi della Fisica assumono la forma che compete loro in Relatività Ristretta."
In altri termini, lo spaziotempo dentro il LIF ( local inertial frame) è piatto come in RR. Quindi : piattezza locale, curvatura globale.E da un punto ad un altro dello spaziotempo il LIF cambia, in funzione dei campi gravitazionali. Perciò non è vero che tutti i riferimenti non inerziali sono equivalenti.
Questa piattezza locale però è vera solo al primo ordine, perché se si va a considerare gli effetti del secondo ordine si vede che due geodetiche inizialmente parallele non rimangono tali, subiscono la "deviazione geodetica", che trattata matematicamente porta diritti al tensore di curvatura di Riemann.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo