Un grattacapo sul delta-energia relativistico

[mariodic]

Ho difficoltà a spiegarmi questo esperimento mentale, chi può farmi chiarezza?
Supponiamo di avere un gas in un contenitore termicamente isolato, dotato di un pistone mediante il quale lo andremo a comprimere riducendone il volume; il bulbo di un termometro, posto a contatto col gas, segnalerà il previsto incremento di temperatura del fluido. E' appena il caso di dire che l'aumento della temperatura è spiegato della accresciuta frequenza degli urti delle molecole contro il bulbo, conseguenza dalla riduzione dello spazio a disposizione per il moto di queste ultime.
Sappiamo che quando un corpo, in moto rispetto al sistema di riferimento dell'osservatore, è assoggettato ad un aumento della sua velocità, e quindi della sua energia cinetica, la sua massa si incrementa, seppure di pochissimo, per il ben noto effetto relativistico. Ciò che qui mi sembra importante è il fatto che questo delta-massa si va a localizzare nella massa stessa del corpo in movimento. Se torniamo al nostro gas compresso noteremo che la velocità media delle molecole non ha ragione di variare, infatti l'aumento di temperatura registrato è dato, non la una maggiore velocità delle molecole, ma da un aumento degli urti sul bulbo del termometro. Il paradosso che sembra vi sia è che non saprei dove collocare il delta-massa relativistico che inevitabilmente deve comunque esserci in quanto c'è stata comunque una immissione di energia nel sistema delle molecole del gas mediante la compressione.

[Marco831]

Io la vedo così: quando consideri l'aumento dell'energia delle molecole dovresti considerare l'effetto dell'accresciuta energia distribuendolo in un aumento di massa e un aumento di velocità. Dopo tutto, il primo principio della termodinamica ci dice che l'energia aumenterà di una quantità parti al lavoro speso per comprimere il gas, ma sono le assunzioni che facciamo nella teoria cinetica che ci fanno dire che tutta l'energia verrà spesa per aumentare la velocità delle particelle. Se scrivessimo il tutto come:

$du=dW$

quindi

$dW=n\frac{1}{2}\[m(v_2)v_2^2-m(v_1)v_1^2\]$

(dove n è il numero di molecole per unità di massa)

il problema non si porrebbe.

Ovviamente non lo si fa mai perchè le variazioni di massa in ogni problema di interesse sono assolutamente trascurabili.

[Sk_Anonymous]

Premetto che massa relativistica ne ho solo sentito parlare , quindi per quanto riguarda la seconda parte della domanda non ti posso essere molto di aiuto

E' appena il caso di dire che l'aumento della temperatura è spiegato della accresciuta frequenza degli urti delle molecole contro il bulbo, conseguenza dalla riduzione dello spazio a disposizione per il moto di queste ultime.

L'aumento della temperatura è spiegato dall'aumento dell'energia cinetica media delle particelle mentre l'aumento della frequenza degli urti spiega l'aumento della pressione applicando l'equazione della quantità di moto... per avere un esempio pensa ad una trasformazione isoterma.

Se torniamo al nostro gas compresso noteremo che la velocità media delle molecole non ha ragione di variare, infatti l'aumento di temperatura registrato è dato, non la una maggiore velocità delle molecole, ma da un aumento degli urti sul bulbo del termometro.

La velocità media delle particelle varia, lo scambio di energia avviene negli urti tra le particelle e la parete in movimento.

[kinder1]

"mariodic":E' appena il caso di dire che l'aumento della temperatura è spiegato della accresciuta frequenza degli urti delle molecole contro il bulbo, conseguenza dalla riduzione dello spazio a disposizione per il moto di queste ultime.

Questa affermazione non è corretta. L'aumento della temperatura è associato biunivocamente all'aumento dell'energia cinetica media delle molecole, tramite la nota relazione $E=3/2kT$. Mentre l'aumento delle frequenza degli urti, che si esprime sotto forma di pressione, è determinato, oltre che dalla massa della molecola, dalla densità (molecole per unità di volume) e dalla temperatura, e per capirlo basta utilizzare l'equazione di stato dei gas perfetti. La pressione è una conseguenza del "flusso" dell'impulso generato dalle molecole che urtano sulle pareti, quindi dalla loro quantità di moto e dalla loro densità.

"mariodic":Se torniamo al nostro gas compresso noteremo che la velocità media delle molecole non ha ragione di variare, infatti l'aumento di temperatura registrato è dato, non la una maggiore velocità delle molecole, ma da un aumento degli urti sul bulbo del termometro.

Invece l'energia cinetica ha ragione di variare perché il pistone si sposta, e ciò determina una velocità della molecola che vi rimbalza maggiore di quella che aveva prima dell'urto. Prova a considerare cosa succede se un corpo urta elasticamente contro una parete in movimento, e capirai. Se anche la velocità del pistone ti può sembrare piccola rispetto alla velocità delle molecole, provocando quindi una piccola variazione per ogni singolo urto della velocità delle stesse (a temperatura ambiente l'ordine di grandezza della velocità dell'idrogeno è di $10^3 m/s$), devi considerare che le molecole urtano contro il pistone un numero di volte molto elevato, accumulando l'effetto di cui sopra.

Questo esperimento mentale non ha bisogno di essere spiegato nell'ambito della meccanica relativistica. E' sufficiente la teoria cinetica dei gas.

[mariodic]

RINGRAZIO gli amici che hanno risposto ai miei dubbi esposti nel primo post di questa discussione; grazie ad essi ogni mio dubbio è stato fugato. Devo ammettere che, nonostante la mia non giovane età, sono arrossito!