Un esercizio e un paio di dubbi
Vi prego di verificare se i miei ragionamenti sono corretti o meno.
1)
Per il primo punto, ho pensato che non agendo forze non conservative sul sistema, l'energia meccanica totale si conserva. Quindi:
[tex]mgh_0 = mgh_1 + \frac{1}{2}kx^2 \rightarrow x = \sqrt{2mg(h_0 - h_1)}{k} = \sqrt{14mg}{k}[/tex]
Per il secondo, non mi viene altro in mente che:
[tex]$ F_m = -kx = ma \rightarrow \frac{k}{m} = -{\frac{a}{x}}[/tex]
Per il terzo, ho considerato che chieda l'energia meccanica del blocco quando si trova all'altezza $ h_1 $, e quindi:
$ E/m = mgh_1/m = 29.4 $
2)
.Dato il seguente vettore forza:
il vettore accelerazione è allora [tex]$$ a(t) = 3t^2\hat{x} - 18t\hat{y} + 4\hat{z} [m/s^2][/tex] ? Può sembrarvi una stupidaggine, lo so.
.L'analisi dimensionale di una componente di un vettore è:
[tex]ML^2T^{-3} = (c -dT)^5[/tex]
con $ c $ e $ d $ costanti, allora [tex]$$ c = \sqrt[5]{ML^2T^{-3}}, d = \sqrt[5]{ML^2T^{-3}}/T $$[/tex] ?
Insomma, sono risposte accettabili? Grazie per l'attenzione.
1)
Una carrucola di dimensioni trascurabili è appesa al soffitto di una stanza. Attraverso essa scorre una fune inestensibile di massa trascurabile. Una estremità della fune è fissata all'estremità superiore della molla, di costante elastica $ k $, posta in posizione verticale e ancorata con l'altro estremo al pavimento. L'altra estremità della fune è attaccata ad un blocco di massa $ m $. Il blocco è tenuto fermo ad un'altezza $ h_0 = 10m $ dal pavimento. In queste condizioni la fune è tesa, ma la molla è scarica. Successivamente il blocco è lasciato libero e dopo un tempo sufficientemente lungo esso si stabilisce ad un'altezza $ h_1 = 3m $ dal pavimento in condizioni di riposo. Determinare:
. La deformazione $ x_m $ massima subita dalla molla;
. Il rapporto $ k/m $;
. Il rapporto $ E/m $ tra l'energia meccanica del blocco e la sua massa.
Per il primo punto, ho pensato che non agendo forze non conservative sul sistema, l'energia meccanica totale si conserva. Quindi:
[tex]mgh_0 = mgh_1 + \frac{1}{2}kx^2 \rightarrow x = \sqrt{2mg(h_0 - h_1)}{k} = \sqrt{14mg}{k}[/tex]
Per il secondo, non mi viene altro in mente che:
[tex]$ F_m = -kx = ma \rightarrow \frac{k}{m} = -{\frac{a}{x}}[/tex]
Per il terzo, ho considerato che chieda l'energia meccanica del blocco quando si trova all'altezza $ h_1 $, e quindi:
$ E/m = mgh_1/m = 29.4 $
2)
.Dato il seguente vettore forza:
Su un corpo di massa $ m = 1kg $ agisce una forza la cui espressione istantanea è data da:
[tex]$$ F(t) = 3t^2\hat{x} - 18t\hat{y} + 4\hat{z} [N][/tex]
Se il corpo all'istante $ t = 0 $ occupa la posizione [tex]r_0 = 8\hat{y} + 3\hat{z}[/tex] e ha velocità [tex]v_0 = 3\hat{x} - 2\hat{j}[/tex] [...]
il vettore accelerazione è allora [tex]$$ a(t) = 3t^2\hat{x} - 18t\hat{y} + 4\hat{z} [m/s^2][/tex] ? Può sembrarvi una stupidaggine, lo so.
.L'analisi dimensionale di una componente di un vettore è:
[tex]ML^2T^{-3} = (c -dT)^5[/tex]
con $ c $ e $ d $ costanti, allora [tex]$$ c = \sqrt[5]{ML^2T^{-3}}, d = \sqrt[5]{ML^2T^{-3}}/T $$[/tex] ?
Insomma, sono risposte accettabili? Grazie per l'attenzione.
Risposte
Eddai ragazzi, dedicatemi 5 minuti, vi basta anche meno! 
"Bonham":
Vi prego di verificare se i miei ragionamenti sono corretti o meno.
1)
Una carrucola di dimensioni trascurabili è appesa al soffitto di una stanza. Attraverso essa scorre una fune inestensibile di massa trascurabile. Una estremità della fune è fissata all'estremità superiore della molla, di costante elastica $ k $, posta in posizione verticale e ancorata con l'altro estremo al pavimento. L'altra estremità della fune è attaccata ad un blocco di massa $ m $. Il blocco è tenuto fermo ad un'altezza $ h_0 = 10m $ dal pavimento. In queste condizioni la fune è tesa, ma la molla è scarica. Successivamente il blocco è lasciato libero e dopo un tempo sufficientemente lungo esso si stabilisce ad un'altezza $ h_1 = 3m $ dal pavimento in condizioni di riposo. Determinare:
. La deformazione $ x_m $ massima subita dalla molla;
. Il rapporto $ k/m $;
. Il rapporto $ E/m $ tra l'energia meccanica del blocco e la sua massa.
Per il primo punto, ho pensato che non agendo forze non conservative sul sistema, l'energia meccanica totale si conserva. Quindi:
[tex]mgh_0 = mgh_1 + \frac{1}{2}kx^2 \rightarrow x = \sqrt{2mg(h_0 - h_1)}{k} = \sqrt{14mg}{k}[/tex]
Qui ti chiedono una estensione massima, cioe' una lunghezza.
Gli rispondi con una formula di cui non si sa bene cosa esprima.
In ogni caso nella formula hai un errore, il k va al denominatore.
[tex]mgh_0 = mgh_1 + \frac{1}{2}kx^2 \rightarrow x = \sqrt{2mg(h_0 - h_1)}{k} = \sqrt{14mg}{k}[/tex]
Il k si riesce ad esplicitare per cui dopo lo andrai a sostituire nella formula.
Inoltre il sistema peso.molla ha delle oscillazioni iniziali, per cui se il fattore di smorzamento e' basso, hai delle oscillazioni quasi simmetiche rispetto al punto di regime. Quindi il peso andrebbe a sbattere contro il suolo.
Non si capisce bene come comportarsi.
Per il secondo, non mi viene altro in mente che:
[tex]$ F_m = -kx = ma \rightarrow \frac{k}{m} = -{\frac{a}{x}}[/tex]
Se a regime, cioe' dopo un tempo lungo, il peso e' fermo, su di esso agisce una forza [tex]mg[/tex] e la molla si e' allungata i 7m, da cui riusciamo a calcolare [tex]k = mg/x[/tex].
Si riesce anche a calcolare quello che chiedono loro cioe' [tex]k /m[/tex].
Per il terzo, ho considerato che chieda l'energia meccanica del blocco quando si trova all'altezza $ h_1 $, e quindi:
$ E/m = mgh_1/m = 29.4 $
Qui non si capisce cosa vogliono, ne' cosa si intende esattamente per energia meccanica.
2)
.Dato il seguente vettore forza:
[quote]Su un corpo di massa $ m = 1kg $ agisce una forza la cui espressione istantanea è data da:
[tex]$$ F(t) = 3t^2\hat{x} - 18t\hat{y} + 4\hat{z} [N][/tex]
Se il corpo all'istante $ t = 0 $ occupa la posizione [tex]r_0 = 8\hat{y} + 3\hat{z}[/tex] e ha velocità [tex]v_0 = 3\hat{x} - 2\hat{j}[/tex] [...]
il vettore accelerazione è allora [tex]$$ a(t) = 3t^2\hat{x} - 18t\hat{y} + 4\hat{z} [m/s^2][/tex] ? Può sembrarvi una stupidaggine, lo so.
.L'analisi dimensionale di una componente di un vettore è:
[tex]ML^2T^{-3} = (c -dT)^5[/tex]
con $ c $ e $ d $ costanti, allora [tex]$$ c = \sqrt[5]{ML^2T^{-3}}, d = \sqrt[5]{ML^2T^{-3}}/T $$[/tex] ?
Insomma, sono risposte accettabili? Grazie per l'attenzione.[/quote]
Qualcuno può suggerirmi dove posso trovare esercizi di fisica meccanica di questo tipo:
ovvero che richiedano l'uso di derivate ed integrali? Grazie.
Su un corpo di massa $ m = 1kg $ agisce una forza la cui espressione istantanea è data da:
[tex]$$ F(t) = 3t^2\hat{x} - 18t\hat{y} + 4\hat{z} [N][/tex]
Se il corpo all'istante $ t = 0 $ occupa la posizione [tex]r_0 = 8\hat{y} + 3\hat{z}[/tex] e ha velocità [tex]v_0 = 3\hat{x} - 2\hat{j}[/tex], definire:
1. La legge oraria r = r(t) della posizione;
2. La legge oraria v = v(t) della velocità;
ovvero che richiedano l'uso di derivate ed integrali? Grazie.
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