Un campo vettoriale irrotazionale e indivergente è statico?

[ManuRock1]

Nel mio problema elettromagnetico risulta:
$grad \cdotE=0$
$grad \cdotH=0$
$grad xx E=0$
$grad xx H=0$
I campi $E$ ed $H$ sono detti armonici, infatti se si fa la $grad \cdot$ sulle 4 equazioni del sistema:
$grad^2 \cdotE=0$
$grad^2 \cdotH=0$
$0=0$
$0=0$
Cioè $E$ ed $H$ sono soluzioni dell' equazione di Laplace, ovvero sono funzioni armoniche.
Ciò implica che $E$ ed $H$ sono statici?
L'implicazione inversa cioè $staticità rArr grad \cdotE=grad xxE=0$ mi sembra ovvia, l'inverso invece no.
Infatti:
$grad \cdotE=0$ comporta:

$(partial Ex)/(partial x)=(partial Ey)/(partial y)=(partial Ez)/(partial z)=0$

mentre

$grad xx E=0$ comporta:

$(partial Ex)/(partial y)=(partial Ey)/(partial x)$; $(partial Ex)/(partial z)=(partial Ez)/(partial x)$; $(partial Ey)/(partial z)=(partial Ez)/(partial y)$

Questo però non mi permette di dire che tutte le componenti sono costanti rispetto tutti gli assi.
Allora com'è che il campo è statico?

[DelCrossB]

Ciao Manu!

Non capisco se stai affrontando il problema per campi elettromagnetici o per campi vettoriali in generale (nel qual caso la "staticità" andrebbe meglio definita).

Nel primo caso, per provare la staticità di $H$ ed $E$ basta scrivere la II e IV equazione di Maxwell e notare che, in assenza di sorgenti:

$\grad xx E=0 => (\del B)/(\del t)=0$

$\grad xx B=0 => (\del E)/(\del t)=0$

[ManuRock1]

Ah ecco!
La staticità è intesa temporalmente, io ero convinto nel senso dello spazio!