Trovare il potenziale data una forza

[vitunurpo]

Ciao a tutti,
ho un problema nello svolgimento di un integrale.
Molto probabilmente potrebbe risultare ridicola come domanda, ma mi ha fatto sorgere un dubbio

Mi è data la seguente espressione della forza
$ m\ddot vec(r)= k vec(r)-V_0 \frac{vec(r) }{abs(vec(r))^2} $ con k e V0 delle costanti positive.
Mi è chiesto di trovare il potenziale

Dunque, sapendo che
$ F=-\frac{partial U}{partial vec(r)} $ devo solamente integrale la forza per ottenere il potenziale.
La domanda stupida è:
$ -V_0 int\frac{vec(r)}{abs(vec (r))}dr $ è normalmente un
$ -V_0 ln(vec(r))+c $ oppure sto sbagliando?
Grazie..

[donald_zeka]

Eh certo che stai sbagliando, mica pui fare il logaritmo di un vettore...

Innanzitutto

$mddotr⃗ =kr⃗ −V0r⃗ /|r⃗ |^2$

Questa non è una forza, è una equazione differenziale.
Inoltre:

$intvecr/r^2dr=1/2lnr^2$

[vitunurpo]

Ti ringrazio molto per la risposta

Essendomi stata data come equazione del moto, pensavo che
$ m\ddot r $ avesse senso intenderla come una forza..
Però non ho ancora ben capito l'integrale

[donald_zeka]

$mddotr$ è i risultato dell'applicazione di una forza, $mddotr=F(r)$, la forza è $F(r)$ non $mddotr$, quella non è una uguaglianza, è una equazione.

Se sai risolvere $intx/x^2dx$, allora puoi risolvere per analogia anche $intvecr/r^2dvecr$, ricordando che $r^2=vecr*vecr$

[vitunurpo]

Okay ho capito ora.
Però il risultato è, concretamente, il logaritmo naturale di r quindi?
Ti ringrazio per la risposta e la precisazione!

[donald_zeka]

E' il logaritmo naturale del modulo di r (il modulo è uno scalare, r è un vettore):

$1/2lnr^2=lnabs(vecr)=lnr$
DOve r è il modulo di $vecr$

[vitunurpo]

capito grazie