Trovare campo elettromagnetico avendo densità di carica e corrente
Richiesta come da titolo.
Esercizio di relatività, ho un filo giacente sull'asse x con densità l e velocità costante (v,0,0) (dunque ho anche la densità di corrente) e dunque ho il quadrivettore densità elettrica.
Come trovo il campo elettromagnetico generato dal filo?
Esercizio di relatività, ho un filo giacente sull'asse x con densità l e velocità costante (v,0,0) (dunque ho anche la densità di corrente) e dunque ho il quadrivettore densità elettrica.
Come trovo il campo elettromagnetico generato dal filo?
Risposte
Per quanto riguarda il campo magnetico, hai provato ad applicare la legge di Biot-Savart?
"mttjpn":
Per quanto riguarda il campo magnetico, hai provato ad applicare la legge di Biot-Savart?
Ciao, ci ho pensato e lo so fare, il problema è che non so se la legge vale anche in relatività con filo in movimento!
Ah filo in movimento....non avevo capito.
Ardua la cosa.Ma a che velocità? se sono velocità ben inferiori a quelle relativistiche sarei tentato di dire che non hanno alcuna influenza, se poi il filo non esce dal pianeta Terra anche il campo magnetico terrestre non influisce in quanto costante trovandocisi il filo immerso.
Penserei così.
Ardua la cosa.Ma a che velocità? se sono velocità ben inferiori a quelle relativistiche sarei tentato di dire che non hanno alcuna influenza, se poi il filo non esce dal pianeta Terra anche il campo magnetico terrestre non influisce in quanto costante trovandocisi il filo immerso.
Penserei così.
Proverei a calcolare il campo elettrico nel sistema di riferimento solidale col filo (supposto infinito). Poi trasformerei con Lorentz questo campo così da trovare il campo magnetico visto dal sistema fermo (che vede il filo scorrere).
Dovrebbe venire un risultato "simile" alla legge di Biot-Savart
C'è di mezzo, come è giusto che sia, il fattore relativistico $\gamma$
Dovrebbe venire un risultato "simile" alla legge di Biot-Savart
C'è di mezzo, come è giusto che sia, il fattore relativistico $\gamma$
"anonymous_56b3e2":
Proverei a calcolare il campo elettrico nel sistema di riferimento solidale col filo (supposto infinito). Poi trasformerei con Lorentz questo campo così da trovare il campo magnetico visto dal sistema fermo (che vede il filo scorrere).
Dovrebbe venire un risultato "simile" alla legge di Biot-Savart
E nel sistema solidale valgono dunque i campi dell'elettromagnetismo classico? In generale, se il filo è fermo li calcolo con la legge di coulomb e la legge di biot-savart? Se è fermo e ho solo densità di carica ovviamente il campo magnetico è nullo. Dovrebbe essere giusto così?
Le equazioni di Maxwell sono già relativistiche (lorentzinvarianti) di loro, anche se nel loro formato tradizionale non sono scritte in forma tensoriale.
Il problema qui è che la densità di carica dichiarata è riferita ad un sistema solidale con il filo. Per un sistema immobile (rispetto al quale il filo si muove) non possiamo usare la formula $i = \rho v$. Dobbiamo, se mai, calcolare il quadrivettore corrente nel sistema solidale col filo e trasformarlo con Lorentz per ricavare il corrispondente quandrivettore nel sistema fermo. Per fare prima, è meglio procedere direttamente con i campi (come ho suggerito sopra).
Se si pone $v \<\< c$, allora la $i = \rho v$ è valida ed il campo $B$ lo puoi calcolare direttamente con legge di Biot-Savart (che è una conseguenza diretta delle equazioni di Maxwell).
Il problema qui è che la densità di carica dichiarata è riferita ad un sistema solidale con il filo. Per un sistema immobile (rispetto al quale il filo si muove) non possiamo usare la formula $i = \rho v$. Dobbiamo, se mai, calcolare il quadrivettore corrente nel sistema solidale col filo e trasformarlo con Lorentz per ricavare il corrispondente quandrivettore nel sistema fermo. Per fare prima, è meglio procedere direttamente con i campi (come ho suggerito sopra).
Se si pone $v \<\< c$, allora la $i = \rho v$ è valida ed il campo $B$ lo puoi calcolare direttamente con legge di Biot-Savart (che è una conseguenza diretta delle equazioni di Maxwell).
"anonymous_56b3e2":
Le equazioni di Maxwell sono già relativistiche (lorentzinvarianti) di loro, anche se nel loro formato tradizionale non sono scritte in forma tensoriale.
Il problema qui è che la densità di carica dichiarata è riferita ad un sistema solidale con il filo. Per un sistema immobile (rispetto al quale il filo si muove) non possiamo usare la formula $i = \rho v$. Dobbiamo, se mai, calcolare il quadrivettore corrente nel sistema solidale col filo e trasformarlo con Lorentz per ricavare il corrispondente quandrivettore nel sistema fermo. Per fare prima, è meglio procedere direttamente con i campi (come ho suggerito sopra).
Se si pone $v \<\< c$, allora la $i = \rho v$ è valida ed il campo $B$ lo puoi calcolare direttamente con legge di Biot-Savart (che è una conseguenza diretta delle equazioni di Maxwell).
Ma la densità di carica è riferita a un sistema immobile e il filo dunque si muove. Perciò se devo calcolare i campi nel sistema solidale, devo trasformare la densità di carica data e la densità di corrente (che calcolo io moltiplicando la densità di carica per la velocità del filo) secondo le trasformazioni di Lorentz, poi calcolare il campo nel sistema solidale e poi tramite le trasformazioni dei campi ritornare nel sistema fisso.
Se è giusto il ragionamento ci sono, mi resta da capire come trovare il campo elettromagnetico nel sistema solidale!
Riprendendo l'esempio dell'op, il filo ha densità L nel sistema fisso ed è posto sull'asse x, dove si muove con velocità (u,0,0).
Adesso nel sistema fisso il filo ha densità di corrente (Lu,0,0).
Considerando un sistema solidale al filo, applico la trasformazione di Lorentz al quadrivettore (L/c, Lu,0,0) ottenendo densità di carica e di corrente nel sistema solidale. Qui calcolo (come?) il campo elettromagnetico. Ottenuto il campo elettromagnetico, trasformo i campi per tornare nel sistema fisso.
Nel sistema solidale col filo, il filo è fermo! Non c'è corrente. C'è solo un campo elettrico normale al filo che calcoli con Gauss. Il campo magnetico è, invece, nullo. Poi trasformi il solo campo elettrico.
"anonymous_56b3e2":
Nel sistema solidale col filo, il filo è fermo! Non c'è corrente. C'è solo un campo elettrico normale al filo che calcoli con Gauss. Il campo magnetico è, invece, nullo. Poi trasformi il solo campo elettrico.
E come densità di carica devo usare quella data inzialmente (cioè calcolata nel sistema fisso)? E' qui che non mi torna il ragionamento, in relatività la densità di carica di un sistema in movimento rispetto a un altro è legata dalla trasformazione di Lorentz che lega i due sistemi!
Se è come dico io procedi con la lettura della domanda
: Quindi devo trasformare il quadrivettore!Trasformando il quadrivettore secondo Lorentz però mi esce anche la componente x della densità di corrente (la prima spaziale del quadrivettore)....come fa a essere nullo dunque il campo magnetico se c'è densità di corrente?
Anche se nel testo dell'esercizio non è detto espressamente, secondo me, la densità di carica di cui si sta parlando (e che è uniforme) è riferita al sistema in quiete col filo.
"anonymous_56b3e2":
Anche se nel testo dell'esercizio non è detto espressamente, secondo me, la densità di carica di cui si sta parlando (e che è uniforme) è riferita al sistema in quiete col filo.
E se invece fosse riferita al sistema fisso, sarebbe corretto calcolare il quadrivettore densità tramite la trasformazione di Lorentz e successivamente calcolare i campi utilizzando questi nuovi valori? Nuovi valori per cui però il campo magnetico non sarebbe nullo seppure fermo...
Non mi sembra naturale. Poi non è indicato espressamente, per cui scelgo la strada più facile (risolvi tutto in pochi passaggi e salvi Biot-Savart se il filo si muove lentamente).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo