Trave Rigida
Salve ragazzi, vi propongo il seguente esercizio.
"Una trave rigida omogenea di lunghezza \(\displaystyle L = 10m \) e massa \(\displaystyle M = 70Kg \) è vincolata tramite una molla di costante elastica \(\displaystyle K = 500 N/m \) ad un suo estremo \(\displaystyle A \). La trave è ulteriormente appoggiata in B ad una distanza \(\displaystyle 1/4L \) da A. Una massa di \(\displaystyle 150 kg \) grava sull'altro estremo C.
Calcolare:
a) L'elongazione della molla in A all'equlibrio.
b) Supponendo che la sbarra sia libera di ruotare sul piano verticale attorno a C, il periodo delle piccole oscillazioni del sistema massa + sbarra."
Il testo è poco chiaro sulla corretta disposizione del sistema, io ho immaginato la trave orizzontalmente con la molla in A (all'estremo di sinistra), in B ho disegnato un fulcro e la massa l'ho posta all'estremo di destra C. Veniamo al punto a). Per un corpo rigido in equilibrio valgono le seguenti:
$ { ( M_e = 0 ),( R_e = 0 ):} $ con \(\displaystyle M_e,R_e \) vettori rispettivamente dei momenti delle forze esterne e della risultante delle forze esterne.
Ho scelto un sistema di coordinate cartesiane tale che B sia il polo per i calcoli dei momenti, con l'asse x verso destra, y verso l'alto e z uscente dal piano del disegno. In questo modo, la reazione vincolare del fulcro avrà momento nullo e rimarranno le sole forze elastica, forza peso della trave e forza peso della massa in C. Calcolando i momenti e sommandoli ho trovato che \(\displaystyle \Delta x = -10.2m \) ovvero \(\displaystyle |\Delta x| = 10.2m \). Fin qui è corretto?
N.B. il fatto che l'elongazione sia negativa dipende dal fatto che ho scelto un sistema di riferimento con origine in B?
"Una trave rigida omogenea di lunghezza \(\displaystyle L = 10m \) e massa \(\displaystyle M = 70Kg \) è vincolata tramite una molla di costante elastica \(\displaystyle K = 500 N/m \) ad un suo estremo \(\displaystyle A \). La trave è ulteriormente appoggiata in B ad una distanza \(\displaystyle 1/4L \) da A. Una massa di \(\displaystyle 150 kg \) grava sull'altro estremo C.
Calcolare:
a) L'elongazione della molla in A all'equlibrio.
b) Supponendo che la sbarra sia libera di ruotare sul piano verticale attorno a C, il periodo delle piccole oscillazioni del sistema massa + sbarra."
Il testo è poco chiaro sulla corretta disposizione del sistema, io ho immaginato la trave orizzontalmente con la molla in A (all'estremo di sinistra), in B ho disegnato un fulcro e la massa l'ho posta all'estremo di destra C. Veniamo al punto a). Per un corpo rigido in equilibrio valgono le seguenti:
$ { ( M_e = 0 ),( R_e = 0 ):} $ con \(\displaystyle M_e,R_e \) vettori rispettivamente dei momenti delle forze esterne e della risultante delle forze esterne.
Ho scelto un sistema di coordinate cartesiane tale che B sia il polo per i calcoli dei momenti, con l'asse x verso destra, y verso l'alto e z uscente dal piano del disegno. In questo modo, la reazione vincolare del fulcro avrà momento nullo e rimarranno le sole forze elastica, forza peso della trave e forza peso della massa in C. Calcolando i momenti e sommandoli ho trovato che \(\displaystyle \Delta x = -10.2m \) ovvero \(\displaystyle |\Delta x| = 10.2m \). Fin qui è corretto?
N.B. il fatto che l'elongazione sia negativa dipende dal fatto che ho scelto un sistema di riferimento con origine in B?
Risposte
Il tuo procedimento sarebbe giusto, se i dati del problema facessero pensare ad una trave che resta "quasi" orizzontale.
Ma non pare proprio che sia così... a te viene un allungamento della molla di più di 10m, più della trave... un po' insensato non ti sembra? Non se cosa pensare: o 1) i dati del problema sono sballati o 2) il problema va inteso in modo tutto diverso, come in questa figura
in cui in sostanza all'equilibrio la trave è quasi VERTICALE, perchè con questi dati questo è quello che succede.
Poi trovo un'altra stranezza, nel punto b), dove dice che la trave è libera di ruotare intorno al punto C(?). Ma non era appoggiata in B? Mi aspetterei che ruotasse intorno a B...
Oppure sono io che non ho capito niente....
Ma non pare proprio che sia così... a te viene un allungamento della molla di più di 10m, più della trave... un po' insensato non ti sembra? Non se cosa pensare: o 1) i dati del problema sono sballati o 2) il problema va inteso in modo tutto diverso, come in questa figura
in cui in sostanza all'equilibrio la trave è quasi VERTICALE, perchè con questi dati questo è quello che succede.
Poi trovo un'altra stranezza, nel punto b), dove dice che la trave è libera di ruotare intorno al punto C(?). Ma non era appoggiata in B? Mi aspetterei che ruotasse intorno a B...
Oppure sono io che non ho capito niente....
Sono d'accordo con te. È proprio scritto coi piedi. Non si capisce come interpretare il testo. La soluzione è risultata strana anche a me. Una elongazione di dieci metri è strana da immaginare.
@mgrau il sistema è quindi sostanzialmente disposto a formare un pendolo composto (o fisico) ? Inoltre, che si intende per periodo delle piccole oscillazioni? non è la prima volta che vedo questa definizione. Grazie 
"MrEngineer":
@mgrau il sistema è quindi sostanzialmente disposto a formare un pendolo composto (o fisico) ?
Più o meno, direi, salvo che un pendolo si intende normalmente soggetto solo alla gravità, qui c'è anche una molla, per di più messa storta... non sono sicuro che questa fosse l'intenzione dell'autore. Mi pare più probabile che abbia sottodimensionato la molla di due o tre ordini di grandezza...
Molla, tra l'altro, con un estremo fissato a chissà cosa
"MrEngineer":
[....] ovvero \(\displaystyle |\Delta x| = 10.2m \). Fin qui è corretto?
N.B. il fatto che l'elongazione sia negativa dipende dal fatto che ho scelto un sistema di riferimento con origine in B?
A me, alla luce del testo, pare giusto il modo in cui hai interpretato il problema ed anche il risultato a cui sei giunto.
Ti viene positivo o negativo a secondo se hai pensato la molla sopra (quindi molla compressa) o sotto(quindi molla tesa) l'estremo della trave.
Certo il testo poteva dire esplicitamente che la trave è orizzontale, ma non vedo perchè andare a complicarsi le cose con elucubrazioni varie.
Purtroppo non ho trovato riscontri online su questo esercizio, per cui non so in che modo andasse realmente immaginata la disposizione della sbarra. Io l'ho supposta orizzontale perché nel testo si parla di "base appoggiata in B" e di "massa che grava su C", per cui ho immaginato la massa come un grande cubo di 150 Kg appoggiato sulla sbarra. Non posso purtroppo dire di più. Trattasi, tra l'altro, di testo d'esame
Secondo me l'importante è aver capito come procedere nei vari casi. Nel caso che la molla a riposo corrispondesse a trave orizzontale allora le cose si complicano un po', ma l'importante è aver chiaro quello cosa comporterebbe sulla soluzione.
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