Trasformazioni di Lorentz e Poincarè boost rotazioni e traslazioni
Sto studiando relatività e non riesco a capire cosa implica che l'insieme delle trasformazioni di Lorentz e Poincarè formano un gruppo. La parte matematica sono riuscita a dimostrarla ma non riesco a trarne le conclusioni, cioè il fatto che costituiscano un gruppo implica che le trasformazioni dìsono valide anche se ci sono rotazioni boosts e traslazioni?Grazie in anticipo a chi avrà la bontà di rispondermi. 
Risposte
Ciao Ondy, non è che si capisca bene qual è il tuo dubbio, potresti cercare di esporlo un po' meglio? Intanto ti butto giù un paio di definizioni, poiché non è esattamente il mio pane quotidiano, dimmi se ti tornano:
Gruppo di Lorentz $O(3,1)$
$O(3,1)= {matrici \quad reali \quad 4\times4 | \Lambda^T \eta \Lambda = \eta }$, dove $\eta$ è la metrica di Minkowski,
Gruppo di Lorentz proprio ed ortocrono $SO^(uarr)(3,1)$
$SO^(uarr)(3,1)={\Lambda in O(3,1)| \Lambda_0^0 >= 1, det\Lambda = +1}$
$SO^(uarr)(3,1)$ è il gruppo delle trasformazioni di Lorentz "usuali", aggiungici le trasformazioni di parità spaziale e di parità temporale ed ottieni $O(3,1)$, aggiungici anche le traslazioni spazio-temporali e ottieni il Gruppo di Poincaré $ISO(3,1)$.
Gruppo di Lorentz $O(3,1)$
$O(3,1)= {matrici \quad reali \quad 4\times4 | \Lambda^T \eta \Lambda = \eta }$, dove $\eta$ è la metrica di Minkowski,
Gruppo di Lorentz proprio ed ortocrono $SO^(uarr)(3,1)$
$SO^(uarr)(3,1)={\Lambda in O(3,1)| \Lambda_0^0 >= 1, det\Lambda = +1}$
$SO^(uarr)(3,1)$ è il gruppo delle trasformazioni di Lorentz "usuali", aggiungici le trasformazioni di parità spaziale e di parità temporale ed ottieni $O(3,1)$, aggiungici anche le traslazioni spazio-temporali e ottieni il Gruppo di Poincaré $ISO(3,1)$.
Se su uno spazio vettoriale $V$ è definita una applicazione bilineare $g$ (la quale, in opportune coordinate, manda una coppia di vettori $v,w\in V$ nello scalare $v^tGw$ per una opportuna matrice $G$ che la rappresenta), è un fatto generale che l'insieme delle matrici invertibili $A$ tali che $A^t GA=G$ è un sottogruppo del gruppo delle matrici quadrate di taglia $n$ (se $n$ è la dimensione di $V$). Il gruppo di Lorentz (e i suoi sottogruppi rilevanti) nascono dal prendere lo spazio $RR^4$ dove hai messo la metrica di Minkowski (non mi arrischio a deciderne la segnatura, perché ci sono diverse scuole di pensiero).
Ora tu probabilmente vuoi sapere "a cosa serve" sapere che questo è un gruppo; aspettiamo un fisico, ma grosso modo l'idea è che un punto dello spazio affine associato a questo $RR^4$ è un "osservatore" dello spazio di Minkowski. Le isometrie della metrica dello spazio in cui è immerso sono le trasformazioni sotto l'azione delle quali la descrizione di due osservatori è equivalente (nel senso di "dare fisiche equivalenti"). Prova a leggere qui https://www.math.unipd.it/~maurizio/g2/AGLQsp.pdf in particolare il capitolo XI e la sezione 9 dello stesso.
Ora tu probabilmente vuoi sapere "a cosa serve" sapere che questo è un gruppo; aspettiamo un fisico, ma grosso modo l'idea è che un punto dello spazio affine associato a questo $RR^4$ è un "osservatore" dello spazio di Minkowski. Le isometrie della metrica dello spazio in cui è immerso sono le trasformazioni sotto l'azione delle quali la descrizione di due osservatori è equivalente (nel senso di "dare fisiche equivalenti"). Prova a leggere qui https://www.math.unipd.it/~maurizio/g2/AGLQsp.pdf in particolare il capitolo XI e la sezione 9 dello stesso.
Riprendetemi dove e se sbaglio:
l' insieme $O(3,1)={ \Lambda \in M:\Lambda^T g \Lambda= g }$ è un gruppo (facilmente dimostrabile dalla def di gruppo); gli elementi di questo insieme possono avere:
\[
det \Lambda=1 \quad e \quad{\Lambda}{^{0}_{0}} \geq +1 \quad proprie \quad e \quad ortocrone\\
det \Lambda=-1 \quad e \quad{\Lambda}{^{0}_{0}} \geq +1 \quad improprie \quad e \quad ortocrone \\
det \Lambda=1 \quad e \quad{\Lambda}{^{0}_{0}} \leq -1 \quad proprie \quad e \quad anticrone\\
det \Lambda=-1 \quad e \quad {\Lambda}{^{0}_{0}} \leq -1 \quad improprie \quad e \quad anticrone
\]
Alle trasformazioni proprie e ortocrone appartiene la matrice identica ,tutte le trasformazioni di questa classe si possono ottenere "con continuità" a partire dalla trasformazione identica, ossia componendo traslazioni, rotazioni e boosts.
Le Trasformazioni improprie e ortocrone hanno l'effetto di cambiare il segno degli assi spaziali.
Le Trasformazioni proprie e anticrone hanno l'effetto di cambiare il segno della coordinata temporale.
Le Trasformazioni improprie e anticrone hanno l'effetto di cambiare il segno a tutte e quattro le coordinate.
Tutte queste trasformazioni lasciano invariata la forma quadratica dell' intervallo e quindi le leggi fisiche "funzionano" in entrambi i sistemi di riferimento (nonostante quello in moto ruota trasla fa cose di pazzi). Ora, il fatto che O(3,1) sia un gruppo è solo una caratteristica matematica dell' insieme o ha anche un'importanza fisica? (terra terra: si a che serve sapere che O(3,1) è un gruppo?)
l' insieme $O(3,1)={ \Lambda \in M:\Lambda^T g \Lambda= g }$ è un gruppo (facilmente dimostrabile dalla def di gruppo); gli elementi di questo insieme possono avere:
\[
det \Lambda=1 \quad e \quad{\Lambda}{^{0}_{0}} \geq +1 \quad proprie \quad e \quad ortocrone\\
det \Lambda=-1 \quad e \quad{\Lambda}{^{0}_{0}} \geq +1 \quad improprie \quad e \quad ortocrone \\
det \Lambda=1 \quad e \quad{\Lambda}{^{0}_{0}} \leq -1 \quad proprie \quad e \quad anticrone\\
det \Lambda=-1 \quad e \quad {\Lambda}{^{0}_{0}} \leq -1 \quad improprie \quad e \quad anticrone
\]
Alle trasformazioni proprie e ortocrone appartiene la matrice identica ,tutte le trasformazioni di questa classe si possono ottenere "con continuità" a partire dalla trasformazione identica, ossia componendo traslazioni, rotazioni e boosts.
Le Trasformazioni improprie e ortocrone hanno l'effetto di cambiare il segno degli assi spaziali.
Le Trasformazioni proprie e anticrone hanno l'effetto di cambiare il segno della coordinata temporale.
Le Trasformazioni improprie e anticrone hanno l'effetto di cambiare il segno a tutte e quattro le coordinate.
Tutte queste trasformazioni lasciano invariata la forma quadratica dell' intervallo e quindi le leggi fisiche "funzionano" in entrambi i sistemi di riferimento (nonostante quello in moto ruota trasla fa cose di pazzi). Ora, il fatto che O(3,1) sia un gruppo è solo una caratteristica matematica dell' insieme o ha anche un'importanza fisica? (terra terra: si a che serve sapere che O(3,1) è un gruppo?)
you:
also you:
Cosa ti sta impedendo di capire di esserti risposto?
il fatto che O(3,1) sia un gruppo è solo una caratteristica matematica dell' insieme o ha anche un'importanza fisica?
also you:
e leggi fisiche "funzionano" in entrambi i sistemi di riferimento
Cosa ti sta impedendo di capire di esserti risposto?
Due boosts di L nella stessa direzione formano ancora un boost di L. Due boosts in due direzioni perpendicolari danno luogo a un boost più una rotazione : precessione di Thomas . Leggi questi due link :
viewtopic.php?f=19&t=137220#p872971
viewtopic.php?f=19&t=141209&p=894709&hilit=composizione+velocità+sei+perpendicolari#p894709
Personalmente non sono d'accordo sullo studio della RR a quel modo esclusivamente matematico. Che i matematici mi biasimino pure !
viewtopic.php?f=19&t=137220#p872971
viewtopic.php?f=19&t=141209&p=894709&hilit=composizione+velocità+sei+perpendicolari#p894709
Personalmente non sono d'accordo sullo studio della RR a quel modo esclusivamente matematico. Che i matematici mi biasimino pure !
"fmnq":
you:il fatto che O(3,1) sia un gruppo è solo una caratteristica matematica dell' insieme o ha anche un'importanza fisica?
also you:e leggi fisiche "funzionano" in entrambi i sistemi di riferimento
Cosa ti sta impedendo di capire di esserti risposto?
oook! a mia discolpa posso solo dire che: a volte mi perdo 
.Grazie a tutti! fa bene confrontarsi e ragionare "ad alta voce"
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