Trasformazioni cicliche
Un gas perfetto biatomico descrive il seguente ciclo: nella trasformazione
AB la pressione cresce
linearmente col volume; la trasformazione BC è isoterma; la trasformazione CA è isobara.
Lo stato A ha una
pressione di $2 atm$ e un volume di $5 l$; lo stato B ha una pressione di $6 atm$ e un volume di $8 l$.
Disegnare il ciclo ne
l piano V
-
p e calcolare per ciascuna trasformazione il lavoro e la variazione di energia
interna
Salve ragazzi questo sopra citato è il testo.
Non riesco a trovare ne il numero di moli ne le temperature.
Son riuscito a calcolare $V_C = 24 x 10^-3 $, quindi mancano le 3 temperature $T_B=T_C$ e $T_A$. Il problema e che sostituendo mi trovo sempre un incognita in più. Ho provato a fare le più disparate sostituzioni, sistemi, ma nulla, non giungo a niente.
Volendo avrei potuto usare $L=DeltaU$ però se non sbaglio, $ Q!= 0$, per giunta non so come continuare. Volendo si potrebbe usare la formula del calore specifica a volume o pressione costante ma comunque si ritorna.
AB la pressione cresce
linearmente col volume; la trasformazione BC è isoterma; la trasformazione CA è isobara.
Lo stato A ha una
pressione di $2 atm$ e un volume di $5 l$; lo stato B ha una pressione di $6 atm$ e un volume di $8 l$.
Disegnare il ciclo ne
l piano V
-
p e calcolare per ciascuna trasformazione il lavoro e la variazione di energia
interna
Salve ragazzi questo sopra citato è il testo.
Non riesco a trovare ne il numero di moli ne le temperature.
Son riuscito a calcolare $V_C = 24 x 10^-3 $, quindi mancano le 3 temperature $T_B=T_C$ e $T_A$. Il problema e che sostituendo mi trovo sempre un incognita in più. Ho provato a fare le più disparate sostituzioni, sistemi, ma nulla, non giungo a niente.
Volendo avrei potuto usare $L=DeltaU$ però se non sbaglio, $ Q!= 0$, per giunta non so come continuare. Volendo si potrebbe usare la formula del calore specifica a volume o pressione costante ma comunque si ritorna.
Risposte
E' vero, con i dati del problema non mi pare possibile ricavare le temperature, ma a noi che ce ne importa? il problema chiede di trovare lavoro e variazione di energia interna.
Andando con ordine, direi di esaminare prima il tratto BC, che essendo isotermo ha [tex]\Delta {U_{BC}} = 0[/tex]. Per quanto riguarda il lavoro si ha:
[tex]\displaystyle \Delta {L_{eBC}} = \int {PdV} = \int {\frac{{nRT}}{V}dV} = nRT\ln \frac{{{V_C}}}{{{V_B}}} = nRT\ln \frac{{{P_B}}}{{{P_C}}} = {P_B}{V_B}\ln \frac{{{P_B}}}{{{P_C}}}[/tex]
(col pedice "e" indico che prendo come positivo il lavoro di espansione)
Esaminiamo adesso il tratto CA isobaro.
Qui il lavoro è:
[tex]\displaystyle \Delta {L_{eCA}} = {P_A}\left( {{V_A} - {V_C}} \right)[/tex]
Naturalmente viene una quantità negativa, essendo una compressione.
In questo tratto posso anche calcolare la variazione di energia interna:
[tex]\displaystyle \Delta {U_{CA}} = n{c_v}\left( {{T_A} - {T_C}} \right) = \frac{{{c_v}}}{R}{P_A}\left( {{V_A} - {V_C}} \right)[/tex]
Nel tratta AB la variazione di energia interna deve essere uguale e contraria a quella del tratto CA:
[tex]\Delta {U_{AB}} = - \Delta {U_{CA}}[/tex]
Il lavoro del tratto AB si calcola partendo dall'informazione che la variazione di pressione procede linearmente col volume, cioè:
[tex]\displaystyle P(V) = {P_A} + \left( {\frac{{{P_B} - {P_A}}}{{{V_B} - {V_A}}}} \right)\left( {V - {V_A}} \right)[/tex]
Allora si può integrare (oppure senza fare tanti integrali si calcola l'area semplicemente di un rettangolo sormontato da un triangolo):
[tex]\displaystyle \Delta {L_{eAB}} = \int {PdV} = {P_A}\left( {{V_B} - {V_A}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{V_B} - {V_A}} \right)\left( {{P_B} - {P_A}} \right)[/tex]
Spero di non aver detto fesserie, nel caso avvertimi.
I calcoli li lascio a te.
Andando con ordine, direi di esaminare prima il tratto BC, che essendo isotermo ha [tex]\Delta {U_{BC}} = 0[/tex]. Per quanto riguarda il lavoro si ha:
[tex]\displaystyle \Delta {L_{eBC}} = \int {PdV} = \int {\frac{{nRT}}{V}dV} = nRT\ln \frac{{{V_C}}}{{{V_B}}} = nRT\ln \frac{{{P_B}}}{{{P_C}}} = {P_B}{V_B}\ln \frac{{{P_B}}}{{{P_C}}}[/tex]
(col pedice "e" indico che prendo come positivo il lavoro di espansione)
Esaminiamo adesso il tratto CA isobaro.
Qui il lavoro è:
[tex]\displaystyle \Delta {L_{eCA}} = {P_A}\left( {{V_A} - {V_C}} \right)[/tex]
Naturalmente viene una quantità negativa, essendo una compressione.
In questo tratto posso anche calcolare la variazione di energia interna:
[tex]\displaystyle \Delta {U_{CA}} = n{c_v}\left( {{T_A} - {T_C}} \right) = \frac{{{c_v}}}{R}{P_A}\left( {{V_A} - {V_C}} \right)[/tex]
Nel tratta AB la variazione di energia interna deve essere uguale e contraria a quella del tratto CA:
[tex]\Delta {U_{AB}} = - \Delta {U_{CA}}[/tex]
Il lavoro del tratto AB si calcola partendo dall'informazione che la variazione di pressione procede linearmente col volume, cioè:
[tex]\displaystyle P(V) = {P_A} + \left( {\frac{{{P_B} - {P_A}}}{{{V_B} - {V_A}}}} \right)\left( {V - {V_A}} \right)[/tex]
Allora si può integrare (oppure senza fare tanti integrali si calcola l'area semplicemente di un rettangolo sormontato da un triangolo):
[tex]\displaystyle \Delta {L_{eAB}} = \int {PdV} = {P_A}\left( {{V_B} - {V_A}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{V_B} - {V_A}} \right)\left( {{P_B} - {P_A}} \right)[/tex]
Spero di non aver detto fesserie, nel caso avvertimi.
I calcoli li lascio a te.
"Falco5x":
E' vero, con i dati del problema non mi pare possibile ricavare le temperature, ma a noi che ce ne importa? il problema chiede di trovare lavoro e variazione di energia interna.
Vero, non so perchè ho voluto trovare temperature e numero di moli.
$ΔU_(AB)=−ΔU_(CA) $ sei giunto a questa conclusione data la natura della trasformazione che è ciclica e quindi, essendo quella isoterma $ DeltaU = 0 $, per forza di cose la somma delle altre deve essere 0 giusto ?
$ΔU_(CA)=nc_v(T_A−T_C)=c_vRP_A(V_A−V_C)$ non mi trovo a nessuno dei due passaggi, al primo mi trovo $m$ invece che di $n$ che moltiplica il resto.
Ora mi sorge un dubbio. Nel primo principio della termodinamica : $ DeltaU = Q - L $
$Q= mc_vDeltaT$ o $ Q=mc_pDeltaT$ ?
"SnakEater25":
$ΔU_(AB)=−ΔU_(CA) $ sei giunto a questa conclusione data la natura della trasformazione che è ciclica e quindi, essendo quella isoterma $ DeltaU = 0 $, per forza di cose la somma delle altre deve essere 0 giusto ?
Sì, o anche detto più semplicemente siccome la U dipende solo da T (nei gas ideali) le due trasformazioni sono fatte tra le stesse temperature.
"SnakEater25":
$ΔU_(CA)=nc_v(T_A−T_C)=c_vRP_A(V_A−V_C)$ non mi trovo a nessuno dei due passaggi, al primo mi trovo $m$ invece che di $n$ che moltiplica il resto.
Riguardo alla U vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Energia_interna al capitolo Gas ideale, per cui:
[tex]\displaystyle \Delta {U_{CA}} = n{c_v}\left( {{T_A} - {T_C}} \right)[/tex].
Essendo poi:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{T_A} = \frac{{{P_A}{V_A}}}{{nR}} \\
{T_C} = \frac{{{P_A}{V_C}}}{{nR}} \\
\end{array}[/tex]
sostituendo si ricava
[tex]\displaystyle \Delta {U_{CA}} = n{c_v}\left( {{T_A} - {T_C}} \right) = n{c_v}\left( {\frac{{{P_A}{V_A}}}{{nR}} - \frac{{{P_A}{V_C}}}{{nR}}} \right) = \frac{{{c_v}}}{R}{P_A}\left( {{V_A} - {V_C}} \right)[/tex]
"SnakEater25":
Ora mi sorge un dubbio. Nel primo principio della termodinamica : $ DeltaU = Q - L $
$Q= mc_vDeltaT$ o $ Q=mc_pDeltaT$ ?
In una trasformazione isobara si ha [tex]\Delta {Q_{aCA}} = n{c_p}\left( {{T_A} - {T_C}} \right)[/tex] perché siamo appunto a pressione costante, dunque si usa il calore specifico a pressione costante.
Se fossimo invece a volume costante si userebbe per Q il calore specifico a volume costante. Se non siamo in nessuno dei due casi il calore si trova solo con integrali che coinvolgono l'entropia (in trasformazioni reversibili).
La variazione di energia interna (sempre gas ideale), invece, qualunque sia la trasformazione è sempre uguale a [tex]\Delta {U_{CA}} = n{c_v}\left( {{T_A} - {T_C}} \right)[/tex]
Grazie capito e risolto 
Gentilissimo.
ps: potresti linkarmi un sito dove dimostra la formula $ΔU_(CA)=nc_v(T_A−T_C)$
Gentilissimo.ps: potresti linkarmi un sito dove dimostra la formula $ΔU_(CA)=nc_v(T_A−T_C)$
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