Trasformazioni Canoniche e Condizione di Lie (CNS)

[lollocau]

Salve a tutti, è la prima volta che scrivo, nonostante sia un assiduo visitatore, quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori e/o violazioni.
In breve il mio problema nasce nel dimostrare che la condizione di Lie sia condizione necessaria e sufficiente alla canonicità di una trasformazione di coordinate, la prima del tutto assente e la seconda incompleta e poco rigorosa negli appunti e nel libro di testo. In particolare, nella realtà dei fatti, sono riuscito nell'intento di dimostrare la condizione sufficiente, che ometterò, e la condizione necessaria, ma nel caso di quest'ultima non sono riuscito a ricondurmi alla forma della condizione desiderata, la quale mi servirebbe per mostrare il valore più generale possibile della differenza tra le due hamiltoniane. Vi mostro i passaggi che ho svolto:

Dim. CN:

sia $\vec{p}=\vec{u}(\vec{P},\vec{Q},t) ; \vec{q}=\vec{v}(\vec{P},\vec{Q},t) $, esprimibile anche come $(\vec{p},\vec{q})=\vec{w}(\vec{P},\vec{Q},t)$, una trasformazione di coordinate.

Ora siano $H(\vec{p},\vec{q},t)$ e $K(\vec{P},\vec{Q},t)$, rispettivamente, l'hamiltoniana nel vecchio e nel nuovo sistema di coordinate; si vuole dimostrare che se la trasformazione è canonica (ovvero conserva la forma delle equazioni di hamilton) allora soddisfa la condizione di Lie.

Ordunque, le equazioni di hamilton sono conservate se valgono simultaneamente le relazioni che annullano la variazione dei rispettivi integrali d'azione:
$\delta\int_{t_0}^{t_1}(\sum_k p_k \dot{q}_k - H)dt=0$, $\delta\int_{t_0}^{t_1}(\sum_k P_k \dot{Q}_k - K)dt=0$
Ciò significa che gli integrandi differiscono al più per una costante moltiplicativa $c$ e una derivata totale additiva, rispetto al tempo, di una funzione arbitraria $F$ (la cui variazione dell'integrale si annulla, poiché risulterebbe la variazione della differenza dei valori della funzione calcolati agli estremi, e la variazione si assume parametrizzata in modo da annullarsi proprio in corrispondenza di tali estremi).

Risulta dunque:
$ c(\sum_k p_k \dot{q}_k - H) = \sum_k P_k \dot{Q}_k - K + \frac{dF}{dt} $
$ c(\sum_k p_k \dot{q}_k - H)dt = (\sum_k P_k \dot{Q}_k - K + \frac{dF}{dt})dt $
$ c(\sum_k p_k dq_k - Hdt) = \sum_k P_k dQ_k - Kdt + dF $
$ c(\vec{p}\cdot d\vec{q} - Hdt) = \vec{P}\cdot d\vec{Q} - Kdt + dF $

si può scrivere $H$ in funzione delle nuove coordinate $H(\vec{p},\vec{q},t)=H(\vec{u}(\vec{P},\vec{Q},t),\vec{v}(\vec{P},\vec{Q},t),t)=H(\vec{w}(\vec{P},\vec{Q},t),t)=H\circ\vec{w}$
dunque
$ c\vec{p}\cdot d\vec{q} = \vec{P}\cdot d\vec{Q} - (K - cH\circ\vec{w})dt + dF $

ponendo infine $K_0=K - cH\circ\vec{w}$ ed esprimendo $vec{p}$ e $d\vec{q}$ in funzione della trasformazione di coordinate, si perviene alla condizione di Lie:
$ c\vec{u}\cdot d\vec{v} = \vec{P}\cdot d\vec{Q} - K_0dt + dF $

I problemi si manifestano proprio in questa circostanza: il mio intento è ora di pervenire alla forma:
$c\vec{u}\cdot\delta\vec{v} = \vec{P}\cdot d\vec{Q} + \deltadF $

Clamorosamente scrivendo questo file ho avuto l'illuminazione : è sufficiente esprimere la condizione di Lie che ho ricavato proprio in funzione dei differenziali a tempo bloccato.

Banalmente:
$c\vec{u}\cdot\delta\vec{v} = c\vec{u}\cdot d\vec{v} - c\vec{u}\cdot\frac{\partial\vec{v}}{\partialt}dt$
$\deltaF = dF - frac{\partialF}{\partialt}dt$
sottraendo membro a membro:
$c\vec{u}\cdot\delta\vec{v} - \deltaF = c\vec{u}\cdot d\vec{v} - c\vec{u}\cdot\frac{\partial\vec{v}}{\partialt}dt - dF + frac{\partialF}{\partialt}dt $

ora, poiché $ c\vec{u}\cdot d\vec{v} - dF = \vec{P}\cdot d\vec{Q} - K_0dt $, sostituendo nell'ultima espressione ricavata e portando tutti i termini al primo membro:

$c\vec{u}\cdot\delta\vec{v} - \deltaF - \vec{P}\cdot d\vec{Q} + K_0dt + c\vec{u}\cdot\frac{\partial\vec{v}}{\partialt}dt - frac{\partialF}{\partialt}dt = 0$

Raccogliendo infine rispetto a dt:

$c\vec{u}\cdot\delta\vec{v} - \deltaF - \vec{P}\cdot d\vec{Q} + (K_0 + c\vec{u}\cdot\frac{\partial\vec{v}}{\partialt} - frac{\partialF}{\partialt})dt = 0$

si ricava la condizione di Lie nella forma desiderata e l'espressione di $K_0$

$c\vec{u}\cdot\delta\vec{v} = \vec{P}\cdot d\vec{Q}+\deltaF $; $K_0 = frac{\partialF}{\partialt} - c\vec{u}\cdot\frac{\partial\vec{v}}{\partialt} $

Sono arrivato a ciò che cercavo, è formalmente corretto ciò che ho fatto???

Oltre a essere profondamente felice di esserci riuscito (dopo 24h a rifletterci), ho deciso di postare comunque in questo forum, primo per ringraziarvi e riconoscervi comunque il merito di avermi permesso di arrivarci ragionandoci e anche perché un po' fa ridere che ci sia riuscito scrivendo il post, quando ancora non l'ho scritto su un foglio, secondo e ben più importante: perché, visto che ho cercato ovunque sul web senza trovare nulla, magari potrebbe essere di utilità a qualcuno impelagato nello studio della meccanica hamiltoniana.
Mi scuso se così non fosse ed anche per essermi dilungato, probabilmente in maniera inutile nel mostrare i passaggi della dimostrazione, e vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.