Trasformazioni Canoniche e Completamente Can. e Esercizio

[Kif_Lame]

Ehi ragazzi volevo chiedervi delle chiarificazioni sulle trasform. can. e compl. can.
Forse sono io che faccio confuzione oppure sono i vari libri che confondono i due termini. Vorrei chiedervi se le affermazioni riportate di seguito sono corrette.

Presa una trasformazione di coordinate, nello spazio delle fasi, definita da $\varphi_t: (q,p)rarr(Q,P)$ da $RRxRRrarrRRxRR$ (con q posizioni e p momenti cinetci), questa è canonica se $EE K(Q,P,t)$ nuova hamiltoniana tale che valgono le equazioni di Hamilton $(delQ)/(delt)=(delK)/(delP)=\grad_PK$ e $(delP)/(delt)=-(delK)/(delQ)=-\grad_QK$.
Ora questa trasformazione può essere completamente canonica se $\varphi_t-=\varphi$ cioè non dipende dal tempo, ed inoltre $K(\varphi(q,p))=H(q,p)$.
La trasformazione $\varphi$ può essere completamente canonica anche sotto un'altra condizione, necessaria e sufficiente, cioè che le parentesi di Poisson siano invarianti per cambi di coordinate; cioè $[F,G]_(Q,P)=[F,G]_(q,p)$.
Questa trasformazione può essere completamente canonica se imponiamo che il determinante dello Jacobiano definito dalla trasformazione $\varphi$ sia $(del(Q,P))/(del(q,p))=1$ cioè che il volume nello spazio delle fasi si conserva per trasformazioni di coordinate. Dire quest'ultima cosa equivale anche a dire che le parentesi di Poisson $[Q_i,P_j]_(q,p)=1$ o ciò vero solo per il caso di coordinate con dimensione 2n con n=1?

In più ho un esercizio da proporvi; la trasformazione $(q,p)rarr(Q,P)$ e definita da $\varphi= \{(Q = \alpha p),(P = \beta q):}$ per quali valori di &\alpha$ e $\beta$ la trasformazione è Completamente canonica?
impongo $det|J|=1$ con J jacobiano della trasformazione e ricavo la condizione $\alpha\beta=-1$.
Trovare la nuova hamiltoniana.
non sono riuscito a farlo e ho trovato la risoluzione che non ho capito che dice ciò:
basta dimostrare che $A(q,p)-C_1B(Q,P)=C_2$ con $C_1,C_2=cost$; questa differenza è $(pdelq-H)-C_1(PdelQ-K)=(pdelq-H)-C_1(\alpha\betaqdelp-H)$ se $C_1\alpha\beta=-1$ e $C_1K=H$ l'espressione sopra diventa $del(qp)$ cioè un differenziale esatto. quindi $A(q,p)-C_1B(Q,P)=qp|_(t1)^(t2)=C_2$ e la trasformazione è canonica con $H=(-\alpha\beta)^(-1)K$.
Perchè si è messo nell'integrale la costante $C_1$ e come si è ricavato l'ultimo passaggio??

[VINX89]

Il legame fra le hamiltoniane è del tipo:

$K(Q,P,t)=H'(Q,P,t)+(delF)/(delt)$

con $F$ funzione generatrice della trasformazione. Il simbolo $H'$ sta ad indicare che la funzione che si ottiene da $H$ per sostituzione diretta delle nuove variabili è, in generale, diversa in forma dalla vecchia hamiltoniana (e di per se non è la nuova hamiltoniana).
Sostituendo le condizioni da te trovate nelle trasformazioni, ottieni:

$Q=alpha p$

$P=-1/(alpha) q$

Ora sei sicuro che sono effettivamente canoniche. La funzione generatrice $F$, definita sullo spazio delle fasi, può essere pensata come funzione di
$2n$ variabili a piacere fra le $4n$ $p,q,P,Q$ (+ eventualmente il tempo). Di solito si scelgono come $2n$ variabili indipendenti per metà le "vecchie" e
per metà le "nuove".
In questo problema si può per esempio pensare $F$ come $F_4=F_4(p,P,t)$ (Il quattro, riprendendo una convenzione utilizzata dal "Goldstein", specifica la scelta effettuata).
Come si può dimostrare, condizione necessaria e sufficiente per la canonicità delle trasformazioni è che esista $F_4$ tale che:

$Q=alpha p = (delF_4)/(delP)$

$q= - alpha P = -(delF_4)/(delp)$

La prima equazione si integra immediatamente dando come risultato $F_4 = alpha p P + lambda(p)$, dove $lambda$ è una costante che dipende solo da $p$.

Sostituendo nella seconda si ha $alpha P + (dlambda)/(dp) = alpha P$, da cui $lambda = costante = 0$.

Ma $F_4$ non dipende esplicitamente da $t$, quindi semplicemente non bisogna sommare $(delF_4)/(delt)$

Le nuove equazioni di Hamilton, come conseguenza della covarianza di tali equazioni rispetto alle trasformazioni canoniche, sono:

$dot(Q)=(delK)/(delP)$

$dot(P)=-(delK)/(delQ)$

Sostituendo le trasformazioni, si ottiene:

$alpha dot(p) = (delK)/(delP)$

$beta dot(q) = -(delK)/(delQ)$

da cui si deduce che $K = alpha dot(p) P - beta dot(q) Q = alpha beta (dot(p) q - dot(q) p)$.

D'altra parte, valgono le vecchie equazioni:

$dot(q) = (delH)/(delp)$

$dot(p) = -(delH)/(delq)$

da cui: $H = dot(q) p - dot(p) q$

Confrontando le espressioni di $K$ e $H$ si ottiene $H = -1/(alpha beta) K$

[VINX89]

Per quanto riguarda il tuo primo dubbio, l'invarianza canonica delle parentesi fondamentali di Poisson vale qualunque sia il numero $n$ di gradi di libertà.

La condizione è $[z_i,z_j]_(z) = [Z_i,Z_j]_(z) = gamma_(ij)

Con $z$ e $Z$ ho indicato le vecchie e le nuove coordinate, con $gamma_(ij)$ l'elemento della matrice $Gamma$ a blocchi così definita:

$Gamma = ((0,I),(-I,0))$