Trasformazioni canoniche

[Lullaby931]

Ciao a tutti. Ho il seguente problema:

Si consideri la trasformazione nello spazio delle fasi data da $ P=q*f(p) $ , $ Q=int_(0)^(p) f(y) dy +lnq $ , con f sufficientemente regolare e $ f(0) =0 $. Si supponga $ q>0 $ , $ p in (-pi/2, pi/2) $.
Si determini la funzione f in modo che la trasformazione risulti canonica e si calcoli la trasformazione.

Per calcolare la funzione f, poichè dev'essere canonica, ho provato ad usare la parentesi di Poisson e a porla uguale a 1, cioè:
$ [P,Q]_(p,q)=((partial P)/(partial p) )*( (partial Q)/(partial q) )- ( (partialP)/(partialq))*((partialQ)/(partialp))=...= f'(p)-f^2(p) = 1 $
A questo punto però non riesco a scegliere la f da usare per risolvere l'equazione e non riesco più ad andare avanti

Grazie a chi riuscirà ad aiutarmi

[polbos]

Premetto che non sono un esperto, sto solo provando a dare una risposta.
Se stai chiedendo se basta imporre che le parentesi di poissons siano 1 non so rispondere.

Se stai chiedendo come trovare f io farei così:
risolvo l' eq differenziale separando le variabili

$$ f^\prime = 1+f^2$$
$$ \frac{f^\prime}{1+f^2}=1$$

integrando:
$$ \int\frac{df}{1+f^2} = \int dp$$
$$ arctg(f)=p+k $$

dovrebbe venire
$$f(p)=tg(p+k)$$

infine trovi f imponendo f(0)=0
$$f(p)=tg(p)$$