Trasformazioni canoniche
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi:)
Non ho capito se le 4 funzioni generatrici
$$F_1(q,Q,t), F_2(q,P,t), F_3(p,Q,t), F_4(p,P,t)$$
sono le uniche possibili in grado di generare una data trasformazione canonica.
Inoltre mi è stato detto che queste funzioni generatrici che ho elencato sopra sono legate da trasformate di Legendre...ma anche questo punto non mi è chiaro, mi potreste spiegare?
Un altra cosa, se io do una funzione generatrice, per esempio F(q,P)=2(q+p)^2, so che vale
$$p\dot q - H = P\dot Q - H' + \frac{d}{dt} F(q,P)$$
come faccio a ricavarmi la $F_2$, che deve soddisfare
F_2=F+PQ?
Il problema è che anche Q dipende da P,q...
infine una questione terminologica: per FUNZIONE GENERATRICE si intende la F che soddisfa 1) oppure la F_2?
Grazie infinite!
Non ho capito se le 4 funzioni generatrici
$$F_1(q,Q,t), F_2(q,P,t), F_3(p,Q,t), F_4(p,P,t)$$
sono le uniche possibili in grado di generare una data trasformazione canonica.
Inoltre mi è stato detto che queste funzioni generatrici che ho elencato sopra sono legate da trasformate di Legendre...ma anche questo punto non mi è chiaro, mi potreste spiegare?
Un altra cosa, se io do una funzione generatrice, per esempio F(q,P)=2(q+p)^2, so che vale
$$p\dot q - H = P\dot Q - H' + \frac{d}{dt} F(q,P)$$
come faccio a ricavarmi la $F_2$, che deve soddisfare
F_2=F+PQ?
Il problema è che anche Q dipende da P,q...
infine una questione terminologica: per FUNZIONE GENERATRICE si intende la F che soddisfa 1) oppure la F_2?
Grazie infinite!
Risposte
Non sono sicuro di capirti. Le quattro che mostri non sono funzioni ma classi di funzioni, e sono per definizione tutte e sole le funzioni generatrici. Non c'è un'altro senso a 'funzione generatrice' oltre ad essere una delle $F_i$.
Riguardo alle trasformate di Legendre, è vero, però ora sono sul telefono e non posso provare a dimostrartelo (in aggiunta c'è anche la complicazione che la notazione per le funzioni generatrici è molto disomogenea fra gli autori) ma non è un conto difficile, sicuramente in qualche testo/dispense di mecc analitica, fismat, o simili dovresti trovarlo. Se mai ricapito di fronte al computer provo a cercare qualcosa.
La domanda che fai è proprio la storia della trasformata di Legendre! La trasformata ti permette di gestire quelle apparenti dipendenze incrociate fra le variabili canoniche.
Sulla terminologia ti devo dire che dipende dal docente. Alcuni dicono che solo un tipo sono generatrici (e le scrivono S), altri discutono solo due classi e le chiamano di primo e secondo tipo (e scrivono S e F), altri ancora sono più appassionati di generalità assoluta e chiamano tutte generatrici; in fondo sono la stessa identica cosa ma rimescolando le variabili alla luce delle simmetrie di un sistema hamiltoniano.
Scusa, temo di non averti fornito molte info utili.
Riguardo alle trasformate di Legendre, è vero, però ora sono sul telefono e non posso provare a dimostrartelo (in aggiunta c'è anche la complicazione che la notazione per le funzioni generatrici è molto disomogenea fra gli autori) ma non è un conto difficile, sicuramente in qualche testo/dispense di mecc analitica, fismat, o simili dovresti trovarlo. Se mai ricapito di fronte al computer provo a cercare qualcosa.
La domanda che fai è proprio la storia della trasformata di Legendre! La trasformata ti permette di gestire quelle apparenti dipendenze incrociate fra le variabili canoniche.
Sulla terminologia ti devo dire che dipende dal docente. Alcuni dicono che solo un tipo sono generatrici (e le scrivono S), altri discutono solo due classi e le chiamano di primo e secondo tipo (e scrivono S e F), altri ancora sono più appassionati di generalità assoluta e chiamano tutte generatrici; in fondo sono la stessa identica cosa ma rimescolando le variabili alla luce delle simmetrie di un sistema hamiltoniano.
Scusa, temo di non averti fornito molte info utili.
In confidenza....cioè....MI HA RISPOSTO HAMILTON IN PERSONA!!!! oh mio dio! Svengo dall'emozione XD
[ot]non rilascio autografi.[/ot]
Ma volevo sapere...come si dimostra che tutte e sole le trasformazioni che ammettono una funzione generatrice sono quelle che conservano le parentesi di Poisson?
Sui testi vedo che viene usato il fatto che valga l'invarianza della forma hamiltoniana delle equazioni del moto; ma come si è detto le trasformazioni canoniche, definite come quelle per cui esistono F(q,P,Q,P) e K(Q,P) t.c valga
$$p\dot q - H = P\dot Q-K + dF/dt$$
non sono TUTTE quelle che conservano la forma Hamiltoniana...
Sui testi vedo che viene usato il fatto che valga l'invarianza della forma hamiltoniana delle equazioni del moto; ma come si è detto le trasformazioni canoniche, definite come quelle per cui esistono F(q,P,Q,P) e K(Q,P) t.c valga
$$p\dot q - H = P\dot Q-K + dF/dt$$
non sono TUTTE quelle che conservano la forma Hamiltoniana...
Uppo, ribadendo ciò che mi starebbe a cuore.
Prendo i seguenti gruppi di trasformazioni.
TRASFORMAZIONI A
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana) e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = P\dot Q -K+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche.
TRASFORMAZIONI B
Quelle per cui si conservano le parentesi di Poisson canoniche, ovvero quelle per cui
$$\{P,Q\}_{p,q}=1$$ (l'altra ce l'ho gratis per antisimmetria).
TRASFORMAZIONI C
Quelle per cui esiste una K soddisfacente
$$\dot Q = -\frac{\partial K}{\partial P}$$
$$\dot P = \frac{\partial K}{\partial Q}$$
ovvero le trasformazioni che preservano la forma Hamiltoniana delle eq. del moto.
TRASFORMAZIONI D
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana),$\lambda\in\mathbb{R}$ e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = \lambda(P\dot Q -K)+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche generalizzate. Sono equivalenti alle C?.
Mi premerebbe sapere la relazione che c'è tra questi gruppi di trasformazioni (insomma, un bel disegnino coi diagrammi di Venn), con relative dimostrazioini. In particolare, quello che davvero mi starebbe a cuore è l'implicazione $$A\Leftrightarrow B$$, entrambe le frecce: è questo quello di cui avrei piu urgentemente bisogno...
Prendo i seguenti gruppi di trasformazioni.
TRASFORMAZIONI A
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana) e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = P\dot Q -K+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche.
TRASFORMAZIONI B
Quelle per cui si conservano le parentesi di Poisson canoniche, ovvero quelle per cui
$$\{P,Q\}_{p,q}=1$$ (l'altra ce l'ho gratis per antisimmetria).
TRASFORMAZIONI C
Quelle per cui esiste una K soddisfacente
$$\dot Q = -\frac{\partial K}{\partial P}$$
$$\dot P = \frac{\partial K}{\partial Q}$$
ovvero le trasformazioni che preservano la forma Hamiltoniana delle eq. del moto.
TRASFORMAZIONI D
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana),$\lambda\in\mathbb{R}$ e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = \lambda(P\dot Q -K)+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche generalizzate. Sono equivalenti alle C?.
Mi premerebbe sapere la relazione che c'è tra questi gruppi di trasformazioni (insomma, un bel disegnino coi diagrammi di Venn), con relative dimostrazioini. In particolare, quello che davvero mi starebbe a cuore è l'implicazione $$A\Leftrightarrow B$$, entrambe le frecce: è questo quello di cui avrei piu urgentemente bisogno...
up
Up
E ancora up ;(
uppem
Up....
Help!!
Up
Mai aspettato tanto per una risposta ...
Mi permetto di riuppare...
poichè tutto è stato sommerso da un oceano di Up, mi permetto di richiedere la questione principale.
Vorrei un diagrammino di Venn con le seguenti trasformazioni (con relative dimostrazioni delle inclusioni se possibile, in particolare $A\Rightarrow B$)
TRASFORMAZIONI A
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana) e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = P\dot Q -K+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche.
TRASFORMAZIONI B
Quelle per cui si conservano le parentesi di Poisson canoniche, ovvero quelle per cui
$$\{P,Q\}_{p,q}=1$$ (l'altra ce l'ho gratis per antisimmetria).
TRASFORMAZIONI C
Quelle per cui esiste una K soddisfacente
$$\dot Q = -\frac{\partial K}{\partial P}$$
$$\dot P = \frac{\partial K}{\partial Q}$$
ovvero le trasformazioni che preservano la forma Hamiltoniana delle eq. del moto.
TRASFORMAZIONI D
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana),$\lambda\in\mathbb{R}$ e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = \lambda(P\dot Q -K)+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche generalizzate. Sono equivalenti alle C?.
Mi premerebbe sapere la relazione che c'è tra questi gruppi di trasformazioni (insomma, un bel disegnino coi diagrammi di Venn), con relative dimostrazioini. In particolare, quello che davvero mi starebbe a cuore è l'implicazione $$A\Leftrightarrow B$$, entrambe le frecce: è questo quello di cui avrei piu urgentemente bisogno...
P.S. Da quello che sto leggendo in un testo (appunti di meccanica classica di esposito) sembra quasi che ci sia addirittura l'equivalenza tra C e D. Possibile? Si basa su argomentazioni relative a forme dfferenziali che si accorge essere "chiuse"
Vorrei un diagrammino di Venn con le seguenti trasformazioni (con relative dimostrazioni delle inclusioni se possibile, in particolare $A\Rightarrow B$)
TRASFORMAZIONI A
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana) e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = P\dot Q -K+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche.
TRASFORMAZIONI B
Quelle per cui si conservano le parentesi di Poisson canoniche, ovvero quelle per cui
$$\{P,Q\}_{p,q}=1$$ (l'altra ce l'ho gratis per antisimmetria).
TRASFORMAZIONI C
Quelle per cui esiste una K soddisfacente
$$\dot Q = -\frac{\partial K}{\partial P}$$
$$\dot P = \frac{\partial K}{\partial Q}$$
ovvero le trasformazioni che preservano la forma Hamiltoniana delle eq. del moto.
TRASFORMAZIONI D
Quelle per cui esistono K (che prendo come nuova hamiltoniana),$\lambda\in\mathbb{R}$ e F(q,Q,p,P) tale che vale
$$p\dot q -H = \lambda(P\dot Q -K)+\frac{dF}{dt}$$. Queste per definizione le chiamo canoniche generalizzate. Sono equivalenti alle C?.
Mi premerebbe sapere la relazione che c'è tra questi gruppi di trasformazioni (insomma, un bel disegnino coi diagrammi di Venn), con relative dimostrazioini. In particolare, quello che davvero mi starebbe a cuore è l'implicazione $$A\Leftrightarrow B$$, entrambe le frecce: è questo quello di cui avrei piu urgentemente bisogno...
P.S. Da quello che sto leggendo in un testo (appunti di meccanica classica di esposito) sembra quasi che ci sia addirittura l'equivalenza tra C e D. Possibile? Si basa su argomentazioni relative a forme dfferenziali che si accorge essere "chiuse"
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