Trasformazione politropica. Esercizio.

[Antonio_80]

Un sistema di $4.57 kg$ subisce una trasformazione politropica di esponente $1.35$ dallo stato iniziale $1$ ($p_1 = 3.54 a t m$ ; $v_1 = 0.242 (m^3)/(kg)$) allo stato finale $2$ ($p_2 = 1.88 atm$).
Determinare:
1) Il volume specifico finale.
2) Il lavoro della trasformazione.

Comincio con il chiedermi cosa si intende con esponente $1.35$ quando si riferisce alla trasformazione politropica
Io so che una trasformazione politropica è una trasformazione che segue la $p*v^n = c o s t$, bene, ma che cosa si intende con esponente $1.35$ Sicuramente intende dire che $n=1.35$, ok, ma perchè lo esplicita che deve essere $1.35$ e che funzione ha questo esponente

[professorkappa]

E se non hai l'esponente, come fai a trovare il volume finale?. Il gas potrebbe andare a $p_2$ seguendo una qualsiasi trasformazione. Se la trasformazione fosse isocora, per esempio (che altro non e' che una particolare trasformazione politropica con $n=oo$), il risultato sarebbe $v_2=0.242m^3/[kg]$.

Quindi il risultato dipende da n.

[Antonio_80]

Ok, capisco quello che hai detto

Punto 1)

Il primo punto lo calcolo nel modo seguente, sapendo che:

$p_1 * v_1^n = p_2 * v_2^n$

$v_2 = ((3.54 atm * 0.242 (m^3)/(kg))/(1.88 atm))^(1/(1.35))= 0.55 (m^3)/(kg)$

Cosa ne dici

[professorkappa]

C'e' un errorino nella soluzione dell'equazione, riguarda con attenzione.

[Antonio_80]

Ho rifatto i calcoli e mi trovo ancora quel risultato!
Ma dove si trova l'errore

Potrei usare i pascal e allora sarebbe:

$v_2 = ((358690.5 Pa * 0.242 (m^3)/(kg))/(190491 Pa))^(1/(1.35))= 0.55 (m^3)/(kg)$

Punto 2)

Chiede il lavoro della trasformazione e quando ci sono variazioni di volume, allora c'è lavoro, quindi penso che debba usare la seguente formula:

$L = m*p_1*v_1*ln(v_2)/(v_1)$

In numeri si ha:

$L = 4.57kg*(358690.5 Pa)*(0.242 (m^3)/(kg))*ln((0.55 (m^3)/(kg))/(0.242 (m^3)/(kg)))$

[professorkappa]

NON TI HO DETTO CHE HAI SBAGLIATO I CONTI. LEGGI BENE. TI HO DETTO CHE HAI RISOLTO MALE L'EQUAZIONE. I CONTI SONO SBAGLIATI COME CONSEGUENZA DELLA RISOLUZIONE ERRATA DELL'EQUAZIONE

[Antonio_80]

$p_1 * v_1^n = p_2 * v_2^n$

$v_2^n = (p_1 * v_1^n )/(p_2)$

$v_2^n = (3.54 atm * v_1^n )/(p_2)$

$v_2 = ((3.54 atm * (0.242 (m^3)/(kg))^(1.35))/(1.88 atm))^(1/(1.35))$

$v_2 = (((3.54 atm * 0.14 (m^3)/(kg)))/(1.88 atm))^(1/(1.35))$

$v_2 = (((0.52atm* (m^3)/(kg)))/(1.88 atm))^(1/(1.35))$

$v_2 = (0.27(m^3)/(kg))^(1/(1.35)) = 0.38 (m^3)/(kg)$

Va bene adesso

Punto 2)

Chiede il lavoro della trasformazione e quando ci sono variazioni di volume, allora c'è lavoro, quindi penso che debba usare la seguente formula:

$L = m*p_1*v_1*ln(v_2)/(v_1)$

In numeri si ha:

$L = 4.57kg*(358690.5 Pa)*(0.242 (m^3)/(kg))*ln((0.38 (m^3)/(kg))/(0.242 (m^3)/(kg)))= 178999.90 J$

[professorkappa]

prima parte OK, La seconda non ricordo e me la devo ricalcolare anche io. Ti faccio sapere, oppure magari qualcuno con ideee piu' fresche o un libro a portata di mano

[professorkappa]

"Antonio_80":$p_1 * v_1^n = p_2 * v_2^n$

$v_2^n = (p_1 * v_1^n )/(p_2)$

$v_2^n = (3.54 atm * v_1^n )/(p_2)$

$v_2 = ((3.54 atm * (0.242 (m^3)/(kg))^(1.35))/(1.88 atm))^(1/(1.35))$

$v_2 = (((3.54 atm * 0.14 (m^3)/(kg)))/(1.88 atm))^(1/(1.35))$

$v_2 = (((0.52atm* (m^3)/(kg)))/(1.88 atm))^(1/(1.35))$

$v_2 = (0.27(m^3)/(kg))^(1/(1.35)) = 0.38 (m^3)/(kg)$

Va bene adesso

Ti conviene risolvere prima l'equazione e poi mettere i valori.

La soluzione dell'equazione e': $ v_2=(p_1/p_2)^(1/n)\cdotv_1 $
Tra l altro mi sono reso conto che hai usato atmosfere. In questo caso va bene, perche si tratta di un rapporto di pressioni, e quindi che siano bar o atmosfere o kg/cm2 non importa, perche si semplifica sopra e sotto il fattore di conversione. Pero' abituati a mettere le unita di misura congrienti, in questo caso Pascal.

Non so da dove tiri quella formula. Io non ho libro, ma ricalcolandola, se non ho fatto errori, dovrebbe venire fuori

$ L=[p_1v_1]/(n-1)[1-(p_2/p_1)^((n-1)/n)] $

che con uno sforzo di memoria mi pare corretto

[professorkappa]

ahhhh, c'e' un errore di editor nella formula del lavoro ecco perche mi confondeva. Doveva essere il logaritmo del rapporto.

No, in questo caso non puoi usare quella. il logaritmo salta fuori quando l'esponente della politropica e' 1 (lavoro isotermo).

[Antonio_80]

"professorkappa":ahhhh, c'e' un errore di editor nella formula del lavoro ecco perche mi confondeva. Doveva essere il logaritmo del rapporto.

No, in questo caso non puoi usare quella. il logaritmo salta fuori quando l'esponente della politropica e' 1 (lavoro isotermo).

Ma io in effetti, dal mio testo ho tirato fuori questo:

e questo:

In effetti io avevo sbagliato a digitare la formula e non avendo messo la parentesi, il logaritmo non riguardava il rapporto, ecco la formula corretta:

$L = m*p_1*v_1*ln((v_2)/(v_1))$

E questa che ho scritto io si può utilizzare quando l'esponente è $n=1$, mentre se l'esponente è $n!=1$ si deve utilizzare la seguente:

$ L=[p_1v_1]/(n-1)[1-(v_1/v_2)^((n-1)/n)] $

E adesso che mi stai facendo ragionare, io avrei utilizzato questa perchè ho delle variazioni di volume, mentre invece da quello che mi dici, devo utilizzare la seguente:

$ L=[p_1v_1]/(n-1)[1-(p_2/p_1)^((n-1)/n)] $

Dove nel rapporto tra le quadre si ha $(p_2)/(p_1)$, però anche in questo contesto ho delle variazioni di pressione e quindi quale utilizzare delle due
Che differenze ci sono tra le due formule

Anche leggendo il mio testo ho le idee un po confuse il perchè e quando si devono utilizzare una o l'altra

[professorkappa]

La formula che usi per il lavoro in funzione del rapporto dei volumi e' sbagliata.
L'esponente del rapporto e' solo n-1.

Puoi utilizzare indifferentemente sia l'una che l'altra. Siccome il testo ti da una pressione finale e una iniziale, io userei quella. Ma in questo caso, una delle domande era proprio di calcolare il volume finale, quindi, visto che te lo sei gia calcolato, puoi usare la prima.
Non c'e' nessuna differenza tra le due formule, usi quella piu conveniente a seconda dei dati che hai per evitare di fare lavoro inutile in piu

[Antonio_80]

Ho fatto i calcoli con questa formula, cioè quella che abbiamo detto:

$ L=[p_1v_1]/(n-1)[1-(v_1/v_2)^((n-1))] $

In numeri ho:

$L=((358690.5 Pa* 0.242(m^3)/(kg))/(1.35-1))*[1-((0.242)/(0.38))^((1.35-1))] = 36232.09 J/kg$

Scusami, ma perchè mi viene fuori un lavoro in dimensioni $J/kg$

Non dovrebbe essere solo $J$

[professorkappa]

Noneeeeeeeee, quella formula e' relativa alla trasformazione di un kg. Sono volumi specifici, quindi pv=J/kg ne abbiamo discusso a lungo nell'altro thread

[Antonio_80]

Perdonami, ma alla fine diventero' matto!
Ma quale formula devo usare allora?

[professorkappa]

Devi moltiplicare per la massa per ottenere I Joule

[Antonio_80]

Perdonami per le distrazioni, ma i miei tre piccolini mi fanno stressare e mentre studio spesso vengono nello studio che vogliono giocare

Ti ringrazio!