Trasformazione isocora irreversibile.

[Jannex1]

Salve.
Ecco il mio dubbio.
In una trasformazione isocora irreversibile (riscaldamento, ad esempio) di un sistema chiuso, a composizione costante (ad esempio, monocomponente e monofasico) tra 2 stati definiti:
$A = ( T_1 ,V_1 )$
$D = (T_2 ,V_1 )$
realizzata mettendo lo stesso in contatto con un'unica sorgente a T2,
la prima legge per un tratto elementare di trasformazione mi dice:
$dU = dq_(irrev)$
ma in tal caso non posso porre dU uguale al differenziale di una funzione di stato:
$dU !=TdS$
Dal secondo principio:
$dq_(irrev) < TdS$
dunque:
$dU < TdS$
per un tratto elememtare A -> B (infinitesimo, per intenderci) irreversibile, in cui A è uno stato di equilibrio e B uno stato infinitamemte prossimo ad A ma di non equilibrio.
Eppure, nella trasformazione discreta da A->D
il calore scambiato irreversibilmente è UGUALE a quello che calcoleremmo lungo una isocora reversibile, cioè:
• da A->B, trasformazione infinitesima isocora irrev:
$dq_(irrev) < dq_(rev)$
mentre
• da A->D, trasformazione discreta isocora irrev:
$Q_(irrev) = Q_(rev) = n * c_v DeltaT$
(se $c_v (T) = cost$ tra $T_1$ e $T_2$ )

Come si spiega questa cosa?
Potrei utilizzare un'analogia:
potrei immaginare che il percorso irreversibile da A a D sia, in un certo senso, "più lungo" (cioè, scomponibile in un numero maggiore di tratti elementari rispetto a quello reversibile), il che spiegherebbe forse il motivo per cui, affinché il calore discreto Q scambiato sia LO STESSO in entrambi i casi rev e irrev una volta fissati A e D (il calore è infatti uguale alla variazione della funzione U tra gli stessi stati A e D), dq irrev debba risultare minore di dq rev nel singolo tratto elementare.
Cosa ne pensate?

[dRic]

Lavorare con l'entropia è più semplice.

In una trasformazione isocora $dU = dQ$ da cui $\Delta U_{A->D} = c_v\DeltaT= Q$. Dove $Q$ è il calore scambiato durante la trasformazione.

Variazione di entropia (considero una trasformazione reversibile con stessi estremi):

$\Deltas_{A->D} = \int_A^D \frac {dq_{rev}} T = \int_A^D \frac {du} T = \int_A^D \frac {c_vdT} T = c_vlog(T_D/T_A)$

Variazione di entropia associata al flusso di calore entrante:

$\Deltas_{flux} = \frac Q {T_{amb}}$. Dove $Q$ è il calore scambiato. Quindi $\Deltas_{flux} = \frac {c_v\DeltaT} {T_{amb}}$

Infine:

$S_{text{gen}} = \Deltas_{A->D} - \Deltas_{flux} = c_vlog(T_D/T_A) - \frac {c_v(T_D - T_A)} {T_{amb}}$

Siccome per scaldare la temperatura ambiente deve essere almeno grande quando $T_D$ possiamo prendere $T_{amb} = T_D$ come caso limite e graficare i risultati:



da cui si vede che $S_{text{gen}}$ (l'entropia generata) è sempre positiva, come c'era da aspettarsi.