Trasformazione di Lorentz su derivata della quantità di moto
Spero che nel forum sia presente qualche parente di Lorentz o di Einstein disposto a darmi un aiuto su una formula che non riesco a dedurre seguendo i vari passaggi matematici.
Dalla collana "La Fisica di Berkeley", Vol I, Meccanica, pagine 431, 432.
La variazione della quantità di moto relativistica dà origine alla nota formula:
\(\displaystyle \frac{d \vec{p}}{dt} = M \frac{d}{dt} \frac{\vec{v}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \), dove \(\displaystyle \beta = \frac{v}{c} \)
La particella è ferma rispetto ad un sistema di riferimento \(\displaystyle S' \) che si muove, appunto, con velocità \(\displaystyle \vec{v} \) rispetto ad un altro sistema \(\displaystyle S \); il vettore velocità è parallelo all'asse \(\displaystyle x \) lungo il quale si svolge il moto relativo.
Tenendo conto delle trasformazioni di Lorentz per la quantità di moto e l'energia, abbiamo, per la componente lungo l'asse \(\displaystyle x \):
\(\displaystyle p_x = \frac{p_x' + \frac{v E'}{c^2}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \), da cui segue \(\displaystyle \Delta p_x = \frac{\Delta p_x' + \frac{v \Delta E'}{c^2}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \)
Tenendo conto che \(\displaystyle E' = \sqrt{M^2 c^4 - p'^2 c^2} \), dove \(\displaystyle M \) è la massa a riposo della particella, segue:
\(\displaystyle \Delta E' = \frac{p_x' \Delta p_x' c^2}{\sqrt{M^2 c^4 - p'^2 c^2}} \)
Ecco, è proprio quest'ultima formula che non riesco a capire come possa dedursi dalle precedenti; da come ne parla il libro, sembra un passaggio del tutto elementare.
Magari, se qualcuno ha a disposizione il libro può farsi un'idea più chiara sull'argomento.
Vi ringrazio per le eventuali risposte.
Dalla collana "La Fisica di Berkeley", Vol I, Meccanica, pagine 431, 432.
La variazione della quantità di moto relativistica dà origine alla nota formula:
\(\displaystyle \frac{d \vec{p}}{dt} = M \frac{d}{dt} \frac{\vec{v}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \), dove \(\displaystyle \beta = \frac{v}{c} \)
La particella è ferma rispetto ad un sistema di riferimento \(\displaystyle S' \) che si muove, appunto, con velocità \(\displaystyle \vec{v} \) rispetto ad un altro sistema \(\displaystyle S \); il vettore velocità è parallelo all'asse \(\displaystyle x \) lungo il quale si svolge il moto relativo.
Tenendo conto delle trasformazioni di Lorentz per la quantità di moto e l'energia, abbiamo, per la componente lungo l'asse \(\displaystyle x \):
\(\displaystyle p_x = \frac{p_x' + \frac{v E'}{c^2}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \), da cui segue \(\displaystyle \Delta p_x = \frac{\Delta p_x' + \frac{v \Delta E'}{c^2}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \)
Tenendo conto che \(\displaystyle E' = \sqrt{M^2 c^4 - p'^2 c^2} \), dove \(\displaystyle M \) è la massa a riposo della particella, segue:
\(\displaystyle \Delta E' = \frac{p_x' \Delta p_x' c^2}{\sqrt{M^2 c^4 - p'^2 c^2}} \)
Ecco, è proprio quest'ultima formula che non riesco a capire come possa dedursi dalle precedenti; da come ne parla il libro, sembra un passaggio del tutto elementare.
Magari, se qualcuno ha a disposizione il libro può farsi un'idea più chiara sull'argomento.
Vi ringrazio per le eventuali risposte.
Risposte
"Raff92":
..........
Tenendo conto che \( \displaystyle E' = \sqrt{M^2 c^4 - p'^2 c^2} \), dove \( \displaystyle M \) è la massa a riposo della particella, segue:
\( \displaystyle \Delta E' = \frac{p_x' \Delta p_x' c^2}{\sqrt{M^2 c^4 - p'^2 c^2}} \)
Ecco, è proprio quest'ultima formula che non riesco a capire come possa dedursi dalle precedenti; da come ne parla il libro, sembra un passaggio del tutto elementare.
Magari, se qualcuno ha a disposizione il libro può farsi un'idea più chiara sull'argomento.
Vi ringrazio per le eventuali risposte.
Ciao Raff.
innanzitutto, come sai il quadri-vettore energia-impulso si trasforma, tra riferimenti in configurazione standard, (boot lungo $x$) come si trasformano le coordinate , ovvero le componenti del 4-intervallo, tramite la matrice di Lorentz.
Ma il tuo dubbio è facile da risolvere.
Hai un'espressione da "differenziare" ( anche se è una differenza finita), in cui c'è una radice quadrata , cioè una quantita $ (.....)^(1/2)$ : scrivila così la quantita $E' = (.....)^(1/2)$, e poi fai il differenziale. Viene fuori : $1/2*(....)^(-1/2) $ , moltiplicato poi per il differenziale di quello che è sotto radice.
E risulta proprio la quantita scritta. Ma c'è un segno che non mi torna, dovresti verificare.
Scusa se non mi metto a scrivere formule ma è molto tardi per me, Spero di essermi spiegato. Semmai ci risentiamo.
Grande navigatore!
Hai perfettamente ragione.
A tutto avevo pensato fuorché alla derivata (proprio perché il libro parlava di variazioni finite).
Innanzi tutto, per quanto riguarda il segno, effettivamente c'è un meno al posto del più, visto che pure io ho postato alle 3 di notte ...
Da \(\displaystyle E' = \sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2} \) si ricava (in forma differenziale):
\(\displaystyle \frac{dE'}{dt} = \frac{2 p' \frac{dp'}{dt} c^2}{2 \sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2}} = \frac{p' \frac{dp'}{dt} c^2}{\sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2}} \)
Quindi, per la componente lungo l'asse x della quantità di moto:
\(\displaystyle \frac{dE'}{dt} = \frac{p_x' \frac{dp_x'}{dt} c^2}{\sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2}} \)
Grazie ancora per la risposta.
Hai perfettamente ragione.
A tutto avevo pensato fuorché alla derivata (proprio perché il libro parlava di variazioni finite).
Innanzi tutto, per quanto riguarda il segno, effettivamente c'è un meno al posto del più, visto che pure io ho postato alle 3 di notte ...
Da \(\displaystyle E' = \sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2} \) si ricava (in forma differenziale):
\(\displaystyle \frac{dE'}{dt} = \frac{2 p' \frac{dp'}{dt} c^2}{2 \sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2}} = \frac{p' \frac{dp'}{dt} c^2}{\sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2}} \)
Quindi, per la componente lungo l'asse x della quantità di moto:
\(\displaystyle \frac{dE'}{dt} = \frac{p_x' \frac{dp_x'}{dt} c^2}{\sqrt{M^2 c^4 + p'^2 c^2}} \)
Grazie ancora per la risposta.
Bene, mi fa piacere di averti aiutato a risolvere il tuo dubbio. E anche la storia del segno.
Ora piuttosto mi viene una curiosità : non ho il libro di cui parli, e quindi non so il seguito della storia, anche se posso immaginarla. Ma dove vuole arrivare il libro? Cioè, a quale scopo fa il calcolo di quella derivata, o differenziale o differenza finita che dir si voglia?
Ora piuttosto mi viene una curiosità : non ho il libro di cui parli, e quindi non so il seguito della storia, anche se posso immaginarla. Ma dove vuole arrivare il libro? Cioè, a quale scopo fa il calcolo di quella derivata, o differenziale o differenza finita che dir si voglia?
"navigatore":
Ora piuttosto mi viene una curiosità : non ho il libro di cui parli, e quindi non so il seguito della storia, anche se posso immaginarla. Ma dove vuole arrivare il libro? Cioè, a quale scopo fa il calcolo di quella derivata, o differenziale o differenza finita che dir si voglia?
Diciamo che il Volume I si porta avanti col lavoro e ricava (dalle trasformazioni di Lorentz della quantità di moto e dell'energia), le trasformazioni della derivata della quantità di moto, considerate importantissime per la trattazione dell'elettromagnetismo (svolta nel Volume II).
Ah ho capito...
Invece altri corsi affrontano direttamente la trasformazione di Lorentz dei vettori del campo elettromagnetico.
Qualche autore più avanzato lo fa con l'uso delle forme differenziali.
Grazie comunque. Alla prossima.
Invece altri corsi affrontano direttamente la trasformazione di Lorentz dei vettori del campo elettromagnetico.
Qualche autore più avanzato lo fa con l'uso delle forme differenziali.
Grazie comunque. Alla prossima.
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