Trasformazione adiabatica tra due recipienti
Buonasera, oggi volevo sottoporre al vostro vaglio un problema particolare (l'unico praticamente che mi sia capitato di trovare di questa tipologia) su una trasformazione adiabatica che apparentemente sembra innocua, ma che mi sta dando un po' di rogne:
"un recipiente cilindrico con due pareti adiabatiche è diviso in due scomparti - 1 e 2- da un pistone mobile senza attrito adiabatico. All'inizio il pistone divide il volume in due parti uguali (il cilindro ha una sezione $a$ = 42cm): ciascuna delle parti contiene la stessa quantità di un gas monoatomico a 300K e 1atm. Nel secondo scomparto è presente un resistore di dimensioni trascurabili che, percorso da corrente, riscalda il gas 2 molto lentamente, così da determinarne una trasformazione quasi-statica. Il processo continua finché il pistone si è spostato di $d$ = 2cm. Calcolare la temperatura e la pressione raggiunte nella parte 1. "
RISULTATI: $ T_2 = T_0(a/(a-d))^(gamma)(a+d)/a$ = 341K; $P = P_0(a/(a-d))^(gamma)$ = 1.08atm.
Bisogna usare le relazioni di Poisson tra temperatura e volume prima, e tra pressione e volume poi. Tuttavia il problema che riscontro quando tento di metterle in pratica è dovuto al fatto che mentre il volume in una parte passa da sezione $a$ a sezione $a-d$, dall'altra arriva contemporaneamente a $a+d$... Cioè, sarebbe come applicare una "trasformazione nella trasformazione", e non capisco come posso procedere. Qualche consiglio? Grazie
"un recipiente cilindrico con due pareti adiabatiche è diviso in due scomparti - 1 e 2- da un pistone mobile senza attrito adiabatico. All'inizio il pistone divide il volume in due parti uguali (il cilindro ha una sezione $a$ = 42cm): ciascuna delle parti contiene la stessa quantità di un gas monoatomico a 300K e 1atm. Nel secondo scomparto è presente un resistore di dimensioni trascurabili che, percorso da corrente, riscalda il gas 2 molto lentamente, così da determinarne una trasformazione quasi-statica. Il processo continua finché il pistone si è spostato di $d$ = 2cm. Calcolare la temperatura e la pressione raggiunte nella parte 1. "
RISULTATI: $ T_2 = T_0(a/(a-d))^(gamma)(a+d)/a$ = 341K; $P = P_0(a/(a-d))^(gamma)$ = 1.08atm.
Bisogna usare le relazioni di Poisson tra temperatura e volume prima, e tra pressione e volume poi. Tuttavia il problema che riscontro quando tento di metterle in pratica è dovuto al fatto che mentre il volume in una parte passa da sezione $a$ a sezione $a-d$, dall'altra arriva contemporaneamente a $a+d$... Cioè, sarebbe come applicare una "trasformazione nella trasformazione", e non capisco come posso procedere. Qualche consiglio? Grazie
Risposte
Secondo me un pessimo testo, e incomprensibile anche il tuo dubbio.
"un recipiente cilindrico con due pareti adiabatiche"
non significa niente. Un cilindro è costituito da due basi circolari e da una parete cilindrica curva. Quali di queste 3 superfici è adiabatica? tutte? alcune? non è chiaro.
"il cilindro ha una sezione a = 42cm"
Una sezione si misura in cm quadrati e quando si parla di cilindro di solito si intende l'area di una delle sue basi. Il pistone evidentemente ha area uguale a questa. Qui invece, cosa si intende? l'altezza di uno dei due mezzi cilindri?
Se poi il problema è calcolare lo stato del gas nel mezzo cilindro che subisce una semplice compressione adiabatica quasi statica basta applicare le formule. Riguardo all'altro mezzo cilindro non ci interessa affatto sapere cosa succede dentro di lui, ci basta sapere che sposta il pistone di una quantità d, dunque non capisco quale sia il dubbio.
Insomma un pessimo esercizio mal scritto e con dettagli inutili (tipo la resistenza; a meno che poi non ci siano altre domande inerenti la medesima).
"un recipiente cilindrico con due pareti adiabatiche"
non significa niente. Un cilindro è costituito da due basi circolari e da una parete cilindrica curva. Quali di queste 3 superfici è adiabatica? tutte? alcune? non è chiaro.
"il cilindro ha una sezione a = 42cm"
Una sezione si misura in cm quadrati e quando si parla di cilindro di solito si intende l'area di una delle sue basi. Il pistone evidentemente ha area uguale a questa. Qui invece, cosa si intende? l'altezza di uno dei due mezzi cilindri?
Se poi il problema è calcolare lo stato del gas nel mezzo cilindro che subisce una semplice compressione adiabatica quasi statica basta applicare le formule. Riguardo all'altro mezzo cilindro non ci interessa affatto sapere cosa succede dentro di lui, ci basta sapere che sposta il pistone di una quantità d, dunque non capisco quale sia il dubbio.
Insomma un pessimo esercizio mal scritto e con dettagli inutili (tipo la resistenza; a meno che poi non ci siano altre domande inerenti la medesima).
Grazie per la risposta intanto, devo effettivamente ammettere che ci sono degli errori in ciò che ho scritto: allora, il recipiente ha tutte le pareti adiabatiche, poi "inizialmente il pistone divide il volume totale in due parti uguali di larghezza a = 42cm" [frase letteralmente copia-incollata dal testo].
Per quanto riguarda la resistenza, non ci sono altre domande e credo sia un semplice esempio concreto per far capire allo studente che il qualche modo il gas viene scaldato e compie una trasformazione (infatti ha dimensioni trascurabili).
Infine, nel mio dubbio pensavo proprio di dover applicare le formule tra i due recipienti contemporaneamente, invece da ciò che ho capito devo soltanto applicarla per l'evoluzione di una delle due metà (precisamente quella che mi interessa, quindi l'altra posso non considerarla affatto).
Grazie ancora, se ci sono altri problemi magari scrivo di nuovo qui
Per quanto riguarda la resistenza, non ci sono altre domande e credo sia un semplice esempio concreto per far capire allo studente che il qualche modo il gas viene scaldato e compie una trasformazione (infatti ha dimensioni trascurabili).
Infine, nel mio dubbio pensavo proprio di dover applicare le formule tra i due recipienti contemporaneamente, invece da ciò che ho capito devo soltanto applicarla per l'evoluzione di una delle due metà (precisamente quella che mi interessa, quindi l'altra posso non considerarla affatto).
Grazie ancora, se ci sono altri problemi magari scrivo di nuovo qui
Ciao, senti riscontro ancora dei problemi nello svolgere l'esercizio... sto provando ad applicare la relazione $T_0V_0^(gamma-1) = T_1V_1^(gamma-1)$ ma non capisco da dove escano quei termini $(a/(a-d))$ e $(a/(a+d))$... qualche consiglio?
A dire il vero non mi ci ritrovo con quel a+d.
Non so se sia un errore del testo o che, fatto sta che a me viene così:
$$\eqalign{
& {P_2} = {P_0}{\left( {\frac{{{V_0}}}
{{{V_2}}}} \right)^\gamma } = {P_0}{\left( {\frac{{aS}}
{{\left( {a - d} \right)S}}} \right)^\gamma } = {P_0}{\left( {\frac{a}
{{a - d}}} \right)^\gamma } \cr
& {T_2} = {T_0}{\left( {\frac{{{V_0}}}
{{{V_2}}}} \right)^{\gamma - 1}} = {T_0}{\left( {\frac{{aS}}
{{\left( {a - d} \right)S}}} \right)^{\gamma - 1}} = {T_0}{\left( {\frac{a}
{{a - d}}} \right)^{\gamma - 1}} = {T_0}{\left( {\frac{a}
{{a - d}}} \right)^\gamma }\frac{{a - d}}
{a} \cr} $$
Non so se sia un errore del testo o che, fatto sta che a me viene così:
$$\eqalign{
& {P_2} = {P_0}{\left( {\frac{{{V_0}}}
{{{V_2}}}} \right)^\gamma } = {P_0}{\left( {\frac{{aS}}
{{\left( {a - d} \right)S}}} \right)^\gamma } = {P_0}{\left( {\frac{a}
{{a - d}}} \right)^\gamma } \cr
& {T_2} = {T_0}{\left( {\frac{{{V_0}}}
{{{V_2}}}} \right)^{\gamma - 1}} = {T_0}{\left( {\frac{{aS}}
{{\left( {a - d} \right)S}}} \right)^{\gamma - 1}} = {T_0}{\left( {\frac{a}
{{a - d}}} \right)^{\gamma - 1}} = {T_0}{\left( {\frac{a}
{{a - d}}} \right)^\gamma }\frac{{a - d}}
{a} \cr} $$
Ti ringrazio, era proprio quello a cui mi riferivo! Ecco perché pensavo che i due recipienti dovessero essere considerati insieme, perché se uno cambia di $a-d$ l'altro lo fa di $a+d$, essendo che il cilindro totale è volumetricamente fisso, sono le sue metà a cambiare vicendevolmente. Grazie ancora, buona serata
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