Trasformazione adiabatica irreversibile
Salve,
ho un classico cilindro adiabatico con pistone adiabatico su quale viene poggiata una massa. Devo trovare la temperatura finale \(\displaystyle T_f \). La trasformazione è irreversibile tra stati di equilibrio.
Testo completo:
Il problema è che non riesco in nessun modo ad ottenere la risposta corretta:
\(\displaystyle dU=\delta Q-\delta W \)
\begin{cases}
dU=nc_vdT & \mbox{(formula delle trasformazioni adiabatiche, letto sul libro)} \\
\delta Q = 0 & \mbox{(perché non viene scambiato calore)} \\
\delta W = pdV = \frac{mg}{A}dV \Rightarrow \Delta W = \frac{mg}{\pi r^2}(V_2-V_1) & \mbox{(la pressione è costante, dovuta peso sul cilindro)}
\end{cases}
ora calcolo \(\displaystyle V_1 \) e \(\displaystyle V_2 \) utilizzando l'equazione di stato di un gas ideale.
\(\displaystyle V={nRT\over p} \)
\(\displaystyle V_1={nRT_1\over p_1}={nRT\over p_a} \)
\(\displaystyle V_2={nRT_2\over p_2}={nRT_f\over p_a+\frac{mg}{\pi r^2}} \)
\(\displaystyle p_2=p_a+\frac{mg}{\pi r^2} \) (la pressione di default diciamo più la pressione applicata dal peso sul cilindro)
riprendo dall'equazione della prima legge
\(\displaystyle \Delta U=\Delta Q-\Delta W \)
\(\displaystyle nc_v\Delta T=\frac{mg}{\pi r^2}(V_2-V_1) \)
\(\displaystyle nc_v(T_f-T)=\frac{mg}{\pi r^2}\left({nR\over p_a+\frac{mg}{\pi r^2}}T_f-{nR\over p_a}T\right) \)
In breve, non riesco a ricondurmi in nessun modo alla soluzione, di sicuro ho sbagliato qualcosa ma non so che cosa. Sono totalmente principiante sull'argomento quindi non entrate troppo nei dettagli.
Ringrazio per eventuali aiuti.
ho un classico cilindro adiabatico con pistone adiabatico su quale viene poggiata una massa. Devo trovare la temperatura finale \(\displaystyle T_f \). La trasformazione è irreversibile tra stati di equilibrio.
Testo completo:
Il problema è che non riesco in nessun modo ad ottenere la risposta corretta:
\(\displaystyle dU=\delta Q-\delta W \)
\begin{cases}
dU=nc_vdT & \mbox{(formula delle trasformazioni adiabatiche, letto sul libro)} \\
\delta Q = 0 & \mbox{(perché non viene scambiato calore)} \\
\delta W = pdV = \frac{mg}{A}dV \Rightarrow \Delta W = \frac{mg}{\pi r^2}(V_2-V_1) & \mbox{(la pressione è costante, dovuta peso sul cilindro)}
\end{cases}
ora calcolo \(\displaystyle V_1 \) e \(\displaystyle V_2 \) utilizzando l'equazione di stato di un gas ideale.
\(\displaystyle V={nRT\over p} \)
\(\displaystyle V_1={nRT_1\over p_1}={nRT\over p_a} \)
\(\displaystyle V_2={nRT_2\over p_2}={nRT_f\over p_a+\frac{mg}{\pi r^2}} \)
\(\displaystyle p_2=p_a+\frac{mg}{\pi r^2} \) (la pressione di default diciamo più la pressione applicata dal peso sul cilindro)
riprendo dall'equazione della prima legge
\(\displaystyle \Delta U=\Delta Q-\Delta W \)
\(\displaystyle nc_v\Delta T=\frac{mg}{\pi r^2}(V_2-V_1) \)
\(\displaystyle nc_v(T_f-T)=\frac{mg}{\pi r^2}\left({nR\over p_a+\frac{mg}{\pi r^2}}T_f-{nR\over p_a}T\right) \)
In breve, non riesco a ricondurmi in nessun modo alla soluzione, di sicuro ho sbagliato qualcosa ma non so che cosa. Sono totalmente principiante sull'argomento quindi non entrate troppo nei dettagli.
Ringrazio per eventuali aiuti.
Risposte
Non sono un esperto in materia, ma dato che ancora nessuno ti ha risposto ci provo io. 
Trattandosi di trasformazione adiabatica è possibile utilizzare l'equazione di Poisson:
$p_fT_f^(gamma /(1-gamma))=p_aT^(gamma /(1-gamma))$
avendo indicato con $gamma=C_p/C_v$
essendo un gas biatomico $gamma=7/5$
Dopo alcuni passaggi arrivi al seguente:
$T_f=T(1+ (mg)/(pir^2P_a))^(2/7)$
Ti lascio alle tue conclusioni... Ciao
Trattandosi di trasformazione adiabatica è possibile utilizzare l'equazione di Poisson:
$p_fT_f^(gamma /(1-gamma))=p_aT^(gamma /(1-gamma))$
avendo indicato con $gamma=C_p/C_v$
essendo un gas biatomico $gamma=7/5$
Dopo alcuni passaggi arrivi al seguente:
$T_f=T(1+ (mg)/(pir^2P_a))^(2/7)$
Ti lascio alle tue conclusioni... Ciao
"laurodinelli":
Non sono un esperto in materia, ma dato che ancora nessuno ti ha risposto ci provo io.
Trattandosi di trasformazione adiabatica [...]
No, si stratta di adiabatica irreversibile quindi non è una isoentropica per cui quella relazione non è valida.
Non ho avuto (e non ho per ora) tempo di verificare i conti, e di leggere con calma, ma lo svolgimento di biowep mi pare corretto.
Dopo averci sbattuto la testa ieri tutto il giorno, oggi ho avuto modo di chiedere al professore.
L'errore è il calcolo del lavoro
\(\displaystyle \color{red}{\Delta W = \frac{mg}{\pi r^2}(V_2-V_1)} \)
la pressione deve essere \(\displaystyle \frac{mg}{\pi r^2}+\color{blue}{p_a} \)
\(\displaystyle \color{green}{\Delta W = \left(\frac{mg}{\pi r^2}+p_a\right)(V_2-V_1)} \)
Grazie per le risposte.
L'errore è il calcolo del lavoro
\(\displaystyle \color{red}{\Delta W = \frac{mg}{\pi r^2}(V_2-V_1)} \)
la pressione deve essere \(\displaystyle \frac{mg}{\pi r^2}+\color{blue}{p_a} \)
\(\displaystyle \color{green}{\Delta W = \left(\frac{mg}{\pi r^2}+p_a\right)(V_2-V_1)} \)
Grazie per le risposte.
"biowep":
Dopo averci sbattuto la testa ieri tutto il giorno, oggi ho avuto modo di chiedere al professore.
L'errore è il calcolo del lavoro
[...]
la pressione deve essere \( \displaystyle \frac{mg}{\pi r^2}+\color{blue}{p_a} \)
[...]
Grazie per le risposte.
Prego, infatti il procedimento era giusto!
Come avevo detto non ho avuto tempo di controllare con calma tutti i passaggi che avevi scritto, solo che mi sembrava che la pressione l'avessi presa proprio pari a quella atmosferica più il contributo del peso, infatti nel primo messaggio avevi scritto ad un certo punto:
"biowep":
\( \displaystyle p_2=p_a+\frac{mg}{\pi r^2} \) (la pressione di default diciamo più la pressione applicata dal peso sul cilindro)
Quindi avevo dato per scontato che quello l'avevi capito e fatto in maniera corretta.
Ad ogni modo mi pare i concetti tu li abbia chiari, forse era più un errore di distrazione
Giusto..., nella fretta non avevo notato "ir"-reversibile . Chiedo scusa a entrambi, invece di aiutare ho complicato il quadro della situazione.
. Chiedo scusa a entrambi, invece di aiutare ho complicato il quadro della situazione.
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