Trasformazione Adiabatica. Es.

[Antonio_80]

Sto cercando di ragionare su questo esercizio!

Avete per caso e per favore qualche consiglio

Ho una prima trasformazione Adiabatica che va da $p_e$ ed $T_e$ fino al punto $p_2$.

Se si ha un'adiabatica, allora vale la seguente relazione:

$pv^k = c o s t$

per l'aria $k= 1.4$

Posso ricavare

$v_e = (RT_e)/(p_e)= (287*293)/(0.8*10^6) = 0.1051 (m^3)/(kg)$

Se adesso applico la seguente:

$p_ev_e^k=p_2v_2^k$

mi manca sia $v_2$ che $p_2$ e quindi come faccio a trovare la $p_2$

La massa la si trova facilmente:

$m_a= (V)/(v_a)$

$v_a = (287*293)/(0.4*10^6)= 0.21022 (m^3)/(kg)$

$m_a= (0.1)/( 0.21022)= 0.476 kg$

Basandomi sui risultati, ho notato che tra il punto $2$ e $3$ si ha una trasformazione Isocora!

Help!

Mi sono impallato!
Anche usando la Teoria che è facile, non riesco a capire cosa sto trascurando per non riuscire ad arrivare alla $p_2$ e alla $T_2$

[mttjpn]

Credo di avere la soluzione.
Tutto sta ad inquadrare bene il sistema e quindi le equazioni giuste da utilizzare.
Chiamero' :
1 la condizione di partenza , a recipiente vuoto
2 recipiente pieno prima del raffreddamento
3 recipiente pieno e raffreddato
Quando siamo nella condizione 1 il sistema è un sistema aperto non a regime, quindi le equazioni da usare sono quelle del bilancio della massa e dell'energia che trascurando i termini dell'energia cinetica e potenziale sono:
bilancio di massa $ (dM)/(dT)=Q_a$ con $Q_a$ che è la portata dell'alimentazione ed M la massa
tutto quello che ha pedice a è inerene alla linea di alimentazione.
bilancio di energia $dU=Q_ah_adT_a$
Il fatto che il riempimento avvenga in modo adiabatico ci autorizza solo a non considerare gli scambi di calore con l'esterno attraverso il confine del recipiente.A mio avviso non si possono usare le equazioni delle trasformazioni adiabatiche per i gas perfetti.
Sostituendo $Q_a$ nella seconda si ottiene :
$dU=dMh_a$
Se integro tra lo stato 1 e lo stato due ottengo:
$U_2-U_1=(M_2-M_1)h_a$
Siccome conderiamo l'aria un gas perfetto per cui consideriamo energia interna ed entalpia nulle a 0 K possiamo scrivere:
$u=c_vT , U=Mc_vT , h=c_pT_a$
sostituendo :
$c_v(M_2T_2-M_1T_1)= c_pT_a(M_2-M_1)$
tenuto conto che $PV=MRT$ posso sotituire $MT=(PV)/R$ e ottengo
$(c_v)/R(P_2V_2-P_1)=(M_2-M_1)c_pT_a$
considerando poi che $V_1=V_2=0,1 m^3$
$(c_vV)/R(P_2-P_1)=(M_2-M_1)c_pT_a$
Ora una considerazione : $P_1$ non è la pressione dell'aria dell'alimentazione ma è zero in quanto il recipiente in principio è vuoto.Per lo stesso motivo anche $M_1$ è zero.
Prendo $c_p=1 c_v=0,717$ (perdonatemi ho omesso le unità di misura)
quindi ho:
$(0,717*0,1)/(0,287)*P_2=0,476*1*293$
$P_2=140/(0,25)=560 kPa $ che diviso 1000 fanno 0,56 Mpa.
Poi la trasformazione che porta da 2 a 3 è isocora (qui posso usare le equazioni dei gas perfetti perchè ormai il sistema è chiuso) quindi vale $T_3/P_3=T_2/P_2$
$T_2=0,56*732,5=410,2 K$
Direi che ci siamo.

[Antonio_80]

E si, i conti tornano perfettamente!
Sei stato bravo a spiegare i passaggi!
Ti ringrazio!

[mttjpn]

Contento di essere stato utile.
Ho commesso una inesattezza grafica....
Le equazioni di bilancio meglio scriverle così:
$(dM)/(dt)=Q_a $
$ (dU)/(dt)=Q_ah_a$ in questo caso t è un tempo e va scritto minuscolo....