Trasformata di Legendre
Buongiorno a tutti!
Mi scuso preventivamente per la domanda probabilmente superbanale
.
Tuttavia: consideriamo la Trasformata di Legendre $g(p)$ di una funzione $f(x)$, ossia $g(p) =$ sup$[px - f(x)]$. Si può affermare che $p = f'(x)$.
Ora, diversi testi di meccanica analitica affermano che la trasformata sia un metodo per passare dalle funzioni definite su di uno spazio vettoriale a funzioni definite sul duale.
La domanda è: un'affermazione del genere va forse intesa come "limitata" al formalismo lagrangiano-hamiltoniano? Come può essere vera se $f$ è di grado superiore a 2?
Grazie mille in anticipo!
Mi scuso preventivamente per la domanda probabilmente superbanale
.Tuttavia: consideriamo la Trasformata di Legendre $g(p)$ di una funzione $f(x)$, ossia $g(p) =$ sup$[px - f(x)]$. Si può affermare che $p = f'(x)$.
Ora, diversi testi di meccanica analitica affermano che la trasformata sia un metodo per passare dalle funzioni definite su di uno spazio vettoriale a funzioni definite sul duale.
La domanda è: un'affermazione del genere va forse intesa come "limitata" al formalismo lagrangiano-hamiltoniano? Come può essere vera se $f$ è di grado superiore a 2?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
"lo_scrondo":
Buongiorno a tutti!
...consideriamo la Trasformata di Legendre $g(p)$ di una funzione $f(x)$, ossia $g(p) =$ sup$[px - f(x)]$. Si può affermare che $p = f'(x)$.
Ora, diversi testi di meccanica analitica affermano che la trasformata sia un metodo per passare dalle funzioni definite su di uno spazio vettoriale a funzioni definite sul duale.
Credo (pinzemunisciti) che il motivo sia che il gradiente di una funzione puo' essere considerato una sezione del fibrato cotangente: per ogni punto dello spazio, il gradiente definisce un funzionale lineare definito sullo spazio tangente a quel punto; infatti pensa alla cosiddetta "derivata direzionale" (tanto usata in elettrostatica per es.)
[tex]\frac{\partial f}{\partial \underline{n}} = \underline n \cdot \nabla f[/tex]
Poiche' nella definizione si richiede che $\underline p = \nabla f$, la $g(p)$ e' definita punto per punto sul duale dello spazio tangente.
Grazie della risposta yoshiharu!
Probabilmente scriverò una bestialità, ma ti chiedo solo una precisazione: se dunque, per definizione $p = grad f$, ma $f$ è di 4° grado (ad es.) come può $grad f$ essere lineare? non è cubico?
Oppure intendi dire che in una ipotetica funzione $f (dot x)$, $T_xM$ (cui appartiene $dot x$) viene naturalmente identificato con $M$?
Probabilmente scriverò una bestialità, ma ti chiedo solo una precisazione: se dunque, per definizione $p = grad f$, ma $f$ è di 4° grado (ad es.) come può $grad f$ essere lineare? non è cubico?
Oppure intendi dire che in una ipotetica funzione $f (dot x)$, $T_xM$ (cui appartiene $dot x$) viene naturalmente identificato con $M$?
"lo_scrondo":
se dunque, per definizione $p = grad f$, ma $f$ è di 4° grado (ad es.) come può $grad f$ essere lineare? non è cubico?
No, aspetta, non parlo di linearita' in quel senso: guardalo come un vettore, definisce in maniera naturale un funzionale sui vettori tangenti, funzionale che non e' altro che il prodotto scalare del gradiente per un vettore tangente
[tex]\underline v \cdot \nabla f(x) = \sum_i v^i \partial_i f(x)[/tex]
Ora capisco (spero)..avevo scartato questa interpretazione a priori perchè confuso dalla definizione dello spazio duale come lo spazio dei funzionali lineari: pensavo che, laddove $p$ fosse stato di grado $>= 2$, sarei stato "fuori" dal duale 
(come anche certa notazione ambigua che ho trovato qui e là lasciava pensare).
Non avevo pensato che un funzionale lineare è quello che -in una dimensione- può essere scritto sotto forma di moltiplicatore - e allora nulla vieta che possa essere definito, punto per punto, con una potenza.
Dimmi tu se ho colto il senso. In ogni caso, grazie per l'impagabile chiarimento!
(come anche certa notazione ambigua che ho trovato qui e là lasciava pensare).Non avevo pensato che un funzionale lineare è quello che -in una dimensione- può essere scritto sotto forma di moltiplicatore - e allora nulla vieta che possa essere definito, punto per punto, con una potenza.
Dimmi tu se ho colto il senso. In ogni caso, grazie per l'impagabile chiarimento!
"lo_scrondo":
Non avevo pensato che un funzionale lineare è quello che -in una dimensione- può essere scritto sotto forma di moltiplicatore - e allora nulla vieta che possa essere definito, punto per punto, con una potenza.
Eh, certe volte e' piu' chiaro il caso multidimensionale di quello unidimensionale, visto che il secondo ti lascia piu' liberta' di fraintendere
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