Trasformata di Laplace di una funzione di Heaviside

[dario18]

Salve, ho svolto questa trasformata e volevo sapere se il procedimento e risultato sono giusti.

Grazie in anticipo

$ L{H_3(t)(t-3)^2e^(-1/2(t-3))} $

Poiché $ H_3(t)={ ( 0 ),( 1 ):} $ 0 se t<3 1 se t>3 allora

$ L{H_3(t)(t-3)^2e^(-1/2(t-3))}=int_(3)^(oo) e^(-st)(t-3)^2e^(-1/2(t-3)) dx =int_(3)^(oo) e^(-t(s+1/2)+3/2)(t^2-6t+9) dx=.....=-3/(s+1/2)e^(-3s)+2/(s+1/2)^3e^(-3s)= (-3s-6s+5/4)/(s+1/2)^3e^(-3s) $

[dario18]

Potete darmi una mano per favoree??

[D4lF4zZI0]

Guarda, invece di fare tutti questi casini con gli integrali, potresti uscirtene con due semplici teoremi della trasformazione di Laplace:
1) $ L[e^(-alphat)f(t)]=F(s+alpha) $
2) $ L[eta(t-alpha)f(t)]=F(s)e^(-alphas) $

[dario18]

Ci avevo pensato, però non saprei proprio come impostare il tutto!

[D4lF4zZI0]

Io fare in questo modo: mi dimentico, per ora, della funzione di Heaviside e mi preoccupo degli altri 2 fattori
$ (t-3)^2e^(-1/2(t-3)) $; se usiamo la variabile di appoggio $ tau=t-3 $ possiamo scrivere $ tau^2e^(-1/2tau) $ la cui trasformata è immediata ( per i teoremi visti in precedenza ); infatti si ha $ 2/(s+1/2)^3 $; infine, ricordandoci di Heaviside, la trasformata di Laplace completa è $ 2/(s+1/2)^3 e^(-3s) $

[dario18]

ti ringrazio moltissimo!!