Trasformata di Fourier coordinate sferiche
Salve a tutti, ho bisogno di aiuto per il calcolo di un integrale. Si tratta della trasformata di Fourier in 3D in coordinate sferiche:
\( \int d^3r exp (i q \centerdot r) exp (-a*r) \)
dove q ed r sono vettori moltiplicati scalarmente tra loro, r è il modulo del vettore in coordinate sferiche, a è una costante. L'integrale è fatto in tutto lo spazio in coordinate sferiche. Ho letto che, mettendo come asse polare del sistema di riferimento il vettore q, ottengo che il prodotto scalare tra i vettori q ed r diventa il prodotto dei moduli, cosicchè posso esplicitare gli integrali sugli angoli theta e phi e svolgerli (e il risultato è 4*pi), e poi mi rimane l'integrale:
\( \int dq q^2 exp (iqr - ar) \) da 0 a infinito.
Da qui in poi non so come continuare, e inoltre non mi è chiara tutta la storia dell'asse polare e del prodotto scalare tra i vettori q ed r che diventa prodotto tra i moduli.
Perchè accade questo? Qualcuno sa darmi una mano? Ho cercato molto su internet, ma non ho trovato nulla di dettagliato, quelle poche cose che ho trovato davano già il risultato senza esplicitarne i passaggi..
Grazie a chi mi aiuterà!
Scusate ma non sono molto pratica con la scrittura delle formule, spero si capiscano!!
\( \int d^3r exp (i q \centerdot r) exp (-a*r) \)
dove q ed r sono vettori moltiplicati scalarmente tra loro, r è il modulo del vettore in coordinate sferiche, a è una costante. L'integrale è fatto in tutto lo spazio in coordinate sferiche. Ho letto che, mettendo come asse polare del sistema di riferimento il vettore q, ottengo che il prodotto scalare tra i vettori q ed r diventa il prodotto dei moduli, cosicchè posso esplicitare gli integrali sugli angoli theta e phi e svolgerli (e il risultato è 4*pi), e poi mi rimane l'integrale:
\( \int dq q^2 exp (iqr - ar) \) da 0 a infinito.
Da qui in poi non so come continuare, e inoltre non mi è chiara tutta la storia dell'asse polare e del prodotto scalare tra i vettori q ed r che diventa prodotto tra i moduli.
Perchè accade questo? Qualcuno sa darmi una mano? Ho cercato molto su internet, ma non ho trovato nulla di dettagliato, quelle poche cose che ho trovato davano già il risultato senza esplicitarne i passaggi..
Grazie a chi mi aiuterà!
Scusate ma non sono molto pratica con la scrittura delle formule, spero si capiscano!!
Risposte
Non si comprende se stai parlando del seguente integrale: $\intdvecre^(ivecq*vecr)e^(-\mur)$
Si, è quello l'integrale, ed è un integrale di volume in r vettore.
L'integrale è covariante per rotazioni (sempre che tu sappia cosa significhi): lo è l'elemento di volume, lo è il primo esponente espresso come prodotto scalare tra due vettori, lo è il secondo esponente che dipende solo da $r$. Quindi, se anche $vecq$ non fosse orientato lungo l'asse $z$, sarebbe comunque possibile ruotare gli assi in modo tale da sovrapporre l'asse $z$ a $vecq$. Insomma, tanto vale partire subito con $vecq$ orientato lungo l'asse $z$. A questo punto, in coordinate sferiche:
$\intdvecre^(ivecq*vecr)e^(-\mur)=\intdrintd\thetaintd\phi[r^2sen\thetae^(-\mur+iqrcos\theta)]=2\pi\intdr[r^2e^(-\mur)]intd\theta[sen\thetae^(iqrcos\theta)]$
Per concludere devi svolgere prima l'integrale in $\theta$.
$\intdvecre^(ivecq*vecr)e^(-\mur)=\intdrintd\thetaintd\phi[r^2sen\thetae^(-\mur+iqrcos\theta)]=2\pi\intdr[r^2e^(-\mur)]intd\theta[sen\thetae^(iqrcos\theta)]$
Per concludere devi svolgere prima l'integrale in $\theta$.
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