Transiente nei circuiti LC ed RLC in corrente continua
L'obiettivo è descrivere come varia la corrente elettrica nei circuiti LC ed RLC in corrente alternata.
All'inizio avevo applicato il procedimento che si utilizza per i circuiti in corrente continua RC ed RL, ossia quello di un'equazione differenziale in variabili separabili. Poi mi è stato fatto notare che il meccanismo è molto più complicato e che, in mancaza di una resistenza (ossia nel circuito LC), l'andamento della corrente può andare avanti all'infinito assumendo un andamento sinusoidale.
Potreste chiarirmi questo punto? (magari anche senza formule, a quelle ci penserei io)
All'inizio avevo applicato il procedimento che si utilizza per i circuiti in corrente continua RC ed RL, ossia quello di un'equazione differenziale in variabili separabili. Poi mi è stato fatto notare che il meccanismo è molto più complicato e che, in mancaza di una resistenza (ossia nel circuito LC), l'andamento della corrente può andare avanti all'infinito assumendo un andamento sinusoidale.
Potreste chiarirmi questo punto? (magari anche senza formule, a quelle ci penserei io)
Risposte
L'energia elettrica contenuta all'interno di un circuito LC si trasforma continuamente da energia potenziale immagazzinata nel campo elettrico del condensatore a energia potenziale immagazzinata nel campo magnetico dell'induttanza.
L'energia totale è data da
$E=E_(L)+E_(C)=1/2Li^2+q^2/(2C)$
Poichè in assenza di resistenze tale energia si conserva, possiamo affermare che
$(dE)/(dt)=(d)/(dt)(1/2Li^2+q^2/(2C))=Li(di)/(dt)+q/C(dq)/(dt)=0$ e cioè
$L(d^2q)/(dt^2)+q/C=0$
La soluzione generale di tale quazione differenziale è
$q=Q*cos(omegat+phi)$
Per trovare la corrente deriviamo quest'ultima equazione rispetto al tempo ottenendo
$i=(dq)/(dt)=-omegaQ*sin(omegat+phi)$
dove ricordiamo che $omega=1/sqrt(LC)$
Da ciò possiamo dedurre che la corrente in un circuito LC ha un andamento sinusoidale.
L'energia totale è data da
$E=E_(L)+E_(C)=1/2Li^2+q^2/(2C)$
Poichè in assenza di resistenze tale energia si conserva, possiamo affermare che
$(dE)/(dt)=(d)/(dt)(1/2Li^2+q^2/(2C))=Li(di)/(dt)+q/C(dq)/(dt)=0$ e cioè
$L(d^2q)/(dt^2)+q/C=0$
La soluzione generale di tale quazione differenziale è
$q=Q*cos(omegat+phi)$
Per trovare la corrente deriviamo quest'ultima equazione rispetto al tempo ottenendo
$i=(dq)/(dt)=-omegaQ*sin(omegat+phi)$
dove ricordiamo che $omega=1/sqrt(LC)$
Da ciò possiamo dedurre che la corrente in un circuito LC ha un andamento sinusoidale.
Scusami davvero, ma ci sono due passaggi matematici che non capito:
quello che da $Li(di)/(dt)+q/C(dq)/(dt)=0$ permette di passare a $L(d^2q)/(dt^2)+q/C=0$
e quello che da quest'ultimo ci permette di passare a $q=Q*cos(omegat+phi)$
quello che da $Li(di)/(dt)+q/C(dq)/(dt)=0$ permette di passare a $L(d^2q)/(dt^2)+q/C=0$
e quello che da quest'ultimo ci permette di passare a $q=Q*cos(omegat+phi)$
1° Passaggio: poni $(di)/(dt)=(d^2q)/(dt^2)$ poichè la corrente è la derivata temporale della carica. Però sappiamo che $(dq)/(dt)=i$ quindi dividiamo ambo i membri dell'equazione per $i$ e otteniamo la seconda equazione.
2° Qui il discorso è lungo, quella è la soluzione dell'equazione differenziale.
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale è del tipo $k^2+1/(LC)=0$. Essa ammette due radici immaginarie $k=+-i1/sqrt(LC)$ e ponendo $omega=1/sqrt(LC)$ si ha $k=+-iomega$
In generale la soluzione di questa equazione differenziale è
$q=Acos(omegat)+Bsin(omegat)$
con $A$ e $B$ costanti da determinare in base alle condizioni inziali del circuito. Svolgendo un pò di conti si arriva all'equazione che ho scritto.
2° Qui il discorso è lungo, quella è la soluzione dell'equazione differenziale.
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale è del tipo $k^2+1/(LC)=0$. Essa ammette due radici immaginarie $k=+-i1/sqrt(LC)$ e ponendo $omega=1/sqrt(LC)$ si ha $k=+-iomega$
In generale la soluzione di questa equazione differenziale è
$q=Acos(omegat)+Bsin(omegat)$
con $A$ e $B$ costanti da determinare in base alle condizioni inziali del circuito. Svolgendo un pò di conti si arriva all'equazione che ho scritto.
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