Traiettoria nel piano
Salve, avrei bisogno di aiuto con questo problema, la traiettoria mi risulta un'iperbole, ma non quella giusta.
Un punto materiale di coordinate $ (x;y) $ , si muove nel piano $ xOy $ e le componenti $ v_x = y $ e $ v_y = x $. Determina la traiettoria del punto mobile, sapendo che esso, nell'istante iniziale $ t = 0 $, ti trova nel punto $ A(4; 0) $.
Un punto materiale di coordinate $ (x;y) $ , si muove nel piano $ xOy $ e le componenti $ v_x = y $ e $ v_y = x $. Determina la traiettoria del punto mobile, sapendo che esso, nell'istante iniziale $ t = 0 $, ti trova nel punto $ A(4; 0) $.
Risposte
Dal sistema di due equazioni differenziali del primo ordine, non dovrebbe essere difficile ricavare la descrizione parametrica della traiettoria, che ha per parametro il tempo; sistema che a occhio e croce sembrerebbe richiamare il seno ed il coseno iperbolico, e da questa descrizione, dovrebbe poi essere semplice ricavare la funzione $x=f(y)$.
Siano \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} \) e \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t} \) rispettivamente le velocità lungo l'asse \(\displaystyle x \) ed \(\displaystyle y \).
Dalle condizioni date, si ha:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = \alpha y(t)\)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t} = \alpha x(t)\)
con \(\displaystyle \alpha \) costante di dimensioni \(\displaystyle 1/s \).
Derivando la prima equazione rispetto al tempo si ottiene l'equazione differenziale che lega accelerazione a posizione lungo l'asse delle ascisse:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d}t^2} = \alpha^2 x(t)\)
la cui soluzione, date le condizioni iniziali, è:
\(\displaystyle x(t) = 4\cosh(t\alpha) \)
Sostituendo questa funzione nella seconda relazione, si ottiene:
\(\displaystyle y(t) = 4\sinh(t\alpha) \)
Le funzioni \(\displaystyle x(t) \) ed \(\displaystyle y(t) \) sono le equazioni parametriche di un'iperbole.
Dalle condizioni date, si ha:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = \alpha y(t)\)
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t} = \alpha x(t)\)
con \(\displaystyle \alpha \) costante di dimensioni \(\displaystyle 1/s \).
Derivando la prima equazione rispetto al tempo si ottiene l'equazione differenziale che lega accelerazione a posizione lungo l'asse delle ascisse:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2x(t)}{\mathrm{d}t^2} = \alpha^2 x(t)\)
la cui soluzione, date le condizioni iniziali, è:
\(\displaystyle x(t) = 4\cosh(t\alpha) \)
Sostituendo questa funzione nella seconda relazione, si ottiene:
\(\displaystyle y(t) = 4\sinh(t\alpha) \)
Le funzioni \(\displaystyle x(t) \) ed \(\displaystyle y(t) \) sono le equazioni parametriche di un'iperbole.
"RenzoDF":
Dal sistema di due equazioni differenziali del primo ordine, non dovrebbe essere difficile ricavare la descrizione parametrica della traiettoria, che ha per parametro il tempo; sistema che a occhio e croce sembrerebbe richiamare il seno ed il coseno iperbolico, e da questa descrizione, dovrebbe poi essere semplice ricavare la funzione $x=f(y)$.
È quello che ho fatto, ma l'equazione dell'iperbole mi risulta $ x^2-y^2 = 4 $ anziché $ x^2-y^2 = 16 $. Grazie.
Scusa ma da $\cosh^2(\alpha t)-\sinh^2(\alpha t)=1$ avrai che
$x^2/16-y^2/16=1$
non credi?
$x^2/16-y^2/16=1$
non credi?
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