Torsione

[zwan9]

Buongiorno!
in un esercizio di cinematica dovevo cacolare la terna intrinseca, la curvatura e la torsione della curva:
(t, at^2, 0), -10.
Errori di calcolo tralasciando, ho trovato che il versore tangente vale (1, 2at, 0)/1+2at, versore normale=(0,1,0), il versore binormale
= (0, 0, 1/1+2at) e la curvatura (1+4a^2t^)/2a. Ora, trovandomi a dover calcolare la torsione, pensavo di usufruire della formula
N(s)xdB/ds=torsione(s). Come faccio a integrare B (=versore binormale) in ds se ha t come parametro? devo considerarlo una funzione composta? e se si in che modo? mi sono persa!!
Grazie in anticipo!
zwan

[goblyn]

Sì, devi considerarlo funzione composta.

s(t)=INT[t0;t] sqrt( |x'(t)|^2 + |y'(t)|^2 ) dt

Nota che:

s'(t)= v(t)

dove v(t) è la velocità ovvero il modulo del vettore tangente.
Ora, fare la derivata rispetto a s di B significa:

dB/ds = dB/dt * dt/ds = dB/dt * g'(s)

dove ho chiamato t=g(s) la funzione inversa di s=s(t); allora (per definizione di derivata di funzione inversa):

g'(s) = 1/s'(g(s)) = 1/v(g(s))

Nel tuo caso:
s'(t)=v(t)= sqrt(1 + (2at)^2)

g'(s(t))= 1/sqrt(1+(2at)^2)

dB/ds = 1/sqrt(1+(2at)^2) * dB/dt