Toroide

[itisscience]

una carica puntiforme è al centro di un toroide di sezione rettangolare, percoso da corrente, con N spire e con raggio interno ‘a’, esterno ‘a+w’ ed altezza ‘h’, con w,h< si chiede di calcolare la quantità di moto p assumendo che all’interno del toroide i campi siano costanti.
ho difficoltà a capire come mai, nell’integrale $ p=epsilon_0int(Exx B) d tau=epsilon_0 q/(4pi epsilon_0 a^2) (mu_0 NI)/(2pia)(2piahw)hat(a) $ il volume $ d tau $ sia $ 2piahw $

[RenzoDF]

$ 2piahw $ non è $\text{d}\tau$ ma l’intero volume $\tau$ del toroide.

che deriva dall'integrazione del volume infinitesimo

$\text{d}\tau\approx h w a \text{d} \theta $

non vedo però come il modulo indicato possa essere associato al versore $\hat a$.

[itisscience]

giusto! è diretto ovviamente lungo z, mi scuso per la svista.
potresti aiutarmi nel calcolo del campo elettrico indotto qualora la corrente I venisse mandata a 0?

[RenzoDF]

Certo, ma è necessario che tu posti la versione integrale del testo, basta anche una foto.

[itisscience]

non c’è una foto ma solo un suggerimento… sfruttare l’analogia formale tra la legge di Ampere e quella di Faraday e considerare il campo B generato sul suo asse di simmetria da un anello percorso da corrente, sostituendo $ B->E $
$ mu_0I->-(dPhi)/dt $



comunque è l'8.15 del griffiths

[RenzoDF]

L'analogia che ti viene suggerita porta proprio a all'equivalenza che hai indicato, di conseguenza se conosci la relazione $B(z)$ per il campo magnetico lungo l'asse di una spira percorsa da una corrente $i$ [nota]Uso la $i$ minuscola per distinguerla dalla corrente $I$ del solenoide.[/nota], così da quella equivalenza formale, potrai andare a scrivere il campo elettrico indotto $E(z)$, lungo l'asse del solenoide toroidale, sfruttando la stessa relazione, semplicemente con la seguente sostituzione

$i -> \ -1/\mu_0 \frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}$

Per entrambe le relazioni, per "convenienza", si considera sia il diametro della sezione del conduttore sia le due dimensioni della sezione del solenoide, trascurabili rispetto ai loro raggi (come precisato nei dati del problema).

Non ti resta che ricordare (o ricavare) $B(z)$ per la spira conduttrice e $\Phi_B(I)$ per il solenoide toroidale e avrai $E(z)$, campo che sarà funzione della derivata della corrente $I(t)$ che attraversa le spire del solenoide; tutto dipenderà quindi dalla sua funzione del tempo ovvero, nel tuo caso, da come verrà "mandata" ... a zero.

[itisscience]

chiarissimo, ti ringrazio