Topologia rotazioni nello spazio 3D
Ciao,
nel libro "The Road to Reality" R. Penrose rappresenta la topologia non banale della varieta' 3-dimensionale $\mathcal R$ delle orientazioni di un oggetto nel 3-spazio euclideo con il seguente esempio: un libro con attaccata una cintura che tiene traccia delle rotazioni subite dal libro stesso (vedi immagini allegate).
In particolare afferma che un numero pari di rotazioni complete puo' esser 'disfatto' attraverso un movimento continuo della cintura mantenendo il libro stesso fermo (provare per credere !). In altre parole una rotazione ad es di $4\pi$ puo' esser deformata in modo continuo e corrispondentemente il loop che la rappresenta nella varieta' $\mathcal R$ puo' esser deformato in modo continuo sino ad un punto (rotazione nulla).
Da quanto posso capire la cintura in sostanza tiene traccia della rotazione 'cumulativa' subita dall'oggetto (libro). Ora affinche' sia possibile deformare il loop nel caso di cui sopra ritengo che in realta' la cintura debba tener conto della rotazione 'cumulativa' nelle 2 dimensioni (ovvero secondo assi di rotazione che giacciono su un piano).
Altrimenti come sarebbe possibile che una rotazione cumulativa diciamo di 60 gradi (nel corso del processo in cui la rotazione iniziale di $4\pi$ viene 'disfatta') possa dar luogo ad una rotazione nulla del libro rispetto alla posizione iniziale ? Grazie.
ps. La stessa domanda e' presente anche su altro forum.
nel libro "The Road to Reality" R. Penrose rappresenta la topologia non banale della varieta' 3-dimensionale $\mathcal R$ delle orientazioni di un oggetto nel 3-spazio euclideo con il seguente esempio: un libro con attaccata una cintura che tiene traccia delle rotazioni subite dal libro stesso (vedi immagini allegate).
In particolare afferma che un numero pari di rotazioni complete puo' esser 'disfatto' attraverso un movimento continuo della cintura mantenendo il libro stesso fermo (provare per credere !). In altre parole una rotazione ad es di $4\pi$ puo' esser deformata in modo continuo e corrispondentemente il loop che la rappresenta nella varieta' $\mathcal R$ puo' esser deformato in modo continuo sino ad un punto (rotazione nulla).
Da quanto posso capire la cintura in sostanza tiene traccia della rotazione 'cumulativa' subita dall'oggetto (libro). Ora affinche' sia possibile deformare il loop nel caso di cui sopra ritengo che in realta' la cintura debba tener conto della rotazione 'cumulativa' nelle 2 dimensioni (ovvero secondo assi di rotazione che giacciono su un piano).
Altrimenti come sarebbe possibile che una rotazione cumulativa diciamo di 60 gradi (nel corso del processo in cui la rotazione iniziale di $4\pi$ viene 'disfatta') possa dar luogo ad una rotazione nulla del libro rispetto alla posizione iniziale ? Grazie.
ps. La stessa domanda e' presente anche su altro forum.
Risposte
Qualche idea/commento ? Grazie.
Dovresti leggere cos'è uno spinore. Se ben ricordo quella sezione di TRTR prova a spiegarlo divulgativamente. Il succo della faccenda è che SO(3) non è semplicemente connesso, quindi un cammino continuo di rotazioni può non essere nullomotopo (ma poco ci manca: o è nullomotopo, o è tale che il suo quadrato lo sia). Il rivestimento universale di SO(3) è Spin(3), un gruppo di Lie semplicemente connesso dove vengono rappresentati gli elementi di SO(3) "sdoppiati" in maniera tale che i cammini non-nullomotopi in SO(3) lo diventino in Spin(3).
"megas_archon":
Dovresti leggere cos'è uno spinore. Se ben ricordo quella sezione di TRTR prova a spiegarlo divulgativamente. Il succo della faccenda è che SO(3) non è semplicemente connesso, quindi un cammino continuo di rotazioni può non essere nullomotopo (ma poco ci manca: o è nullomotopo, o è tale che il suo quadrato lo sia). Il rivestimento universale di SO(3) è Spin(3), un gruppo di Lie semplicemente connesso dove vengono rappresentati gli elementi di SO(3) "sdoppiati" in maniera tale che i cammini non-nullomotopi in SO(3) lo diventino in Spin(3).
Onestamente non sono in grado di capire completamente....cmq la mia idea e' che la cintura tiene conto delle rotazioni secondo 2 assi di un piano per cui una rotazione iniziale su un solo asse di $4\pi$ ("tracciata" attraverso la sola torsione della cintura lungo il suo asse) puo' venir trasformata in una rotazione secondo un altro asse dello stesso piano e alla fine totalmente eliminata.
Diversamente una rotazione iniziale di $2\pi$ secondo un solo asse (anch'essa "tracciata" dalla torsione assunta dalla cintura solo lungo il suo asse) puo' esser trasformata interamente in una rotazione di $2\pi$ rispetto ad un altro asse del piano tuttavia non puo' esser eliminata.
A tal proposto ho trovato questo interessante paper -- https://arxiv.org/abs/1001.1778
Onestamente non sono in grado di capire completamente...Eh, devi studiare le cose di cui parlo, non c'è modo di capire davvero 'sta roba senza parlare di matematica vera. Prendi un libro di topologia algebrica e leggi qualcosa sui rivestimenti universali.
"megas_archon":
Eh, devi studiare le cose di cui parlo, non c'è modo di capire davvero 'sta roba senza parlare di matematica vera. Prendi un libro di topologia algebrica e leggi qualcosa sui rivestimenti universali.
Si e' vero...cmq il fatto che SO(3) non e' semplicemente connesso (in termini di "lacci" che non e' sempre possibile ridurre ad un laccio "nullo") mi sembra evidente dall'esempio della cintura.
ps. TRTR = "The Road To Reality" ?
Se bastasse una cintura per fare una dimostrazione di topologia algebrica, sapremmo tutto sui gruppi di omotopia delle sfere, grazie ai padri violenti o agli amanti del BDSM...
"megas_archon":
Se bastasse una cintura per fare una dimostrazione di topologia algebrica, sapremmo tutto sui gruppi di omotopia delle sfere, grazie ai padri violenti o agli amanti del BDSM...
Si certo, non vuole esser infatti una dimostrazione formale ma solo un aiuto all'intuizione
https://youtu.be/ACZC_XEyg9U
Ti può magari interessare questo video. Per capirlo bene però dovresti avere qualche conoscenza di topologia algebrica, ad esempio sapere cos'è un rivestimento. Ma non è necessario, è tutto introdotto in modo intuitivo nel video.
Ti può magari interessare questo video. Per capirlo bene però dovresti avere qualche conoscenza di topologia algebrica, ad esempio sapere cos'è un rivestimento. Ma non è necessario, è tutto introdotto in modo intuitivo nel video.
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