Tipologie di moti in un sistema hamiltoniano

[Jace2]

Ciao a tutti!
Durante lo svolgimento di un esercizio di Fisica Matematica sulla meccanica analitica in descrizione hamiltoniana ho riscontrato una domanda a cui non riesco a rispondere con sicurezza. Data la trasformazione canonica nel piano delle fasi \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \):

\(\displaystyle \begin{cases} p=8\sqrt{P/2} \ \cos(Q/2) \\q=\sqrt{P/2} \ \sin(Q/2) \end{cases} \)

devo trovare l'espressione dell'hamiltoniana coniugata all'hamiltoniana \(\displaystyle H(p,q)=(\frac{p^2}{8^2}+q^2)^2 \). Io l'ho trovata e sarebbe:

\(\displaystyle H'(P,Q)=\frac{P^2}{4} \)

Adesso l'esercizio mi pone una domanda: come sono i moti?. Ho ricavato il sistema hamiltoniano delle coordinate 'grandi' \(\displaystyle P \) e \(\displaystyle Q \), ossia:

\(\displaystyle \begin{cases} \dot{P}=-\frac{\partial H'}{\partial Q} \\\dot{Q}=\frac{\partial H'}{\partial P} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dot{P}=0 \\ \dot{Q}=\frac{P}{2} \end{cases} \)

Da \(\displaystyle \dot{P} \) so che \(\displaystyle P(t)=P(0) \ \forall \ t \), cioè \(\displaystyle P(t) \) è un integrale primo del moto. Da \(\displaystyle \dot{Q} \) derivo un'altra volta rispetto a t e trovo che \(\displaystyle \ddot{Q}=\frac{\dot{P}}{2} = 0 \) da cui segue che, se non sbaglio:

\(\displaystyle Q(t)=Q(0)+\frac{P}{2}t \)

cioè si tratta di un moto rettilineo uniforme. È corretto? Tuttavia, nei miei appunti a lezione ho scritto accanto all'hamiltoniana coniugata \(\displaystyle H'(P,Q) \) qui sopra che i moti sono periodici. Come capisco, indifferentemente dall'espressione finale \(\displaystyle Q(t) \), se i moti sono periodici o meno? E come è possibile che i moti sono periodici se il moto è rettilineo uniforme?

Ringrazio in anticipo per le risposte.

J.

[Studente Anonimo]

"Jace":
... che i moti sono periodici ...

La dipendenza periodica dal tempo si riferisce a $q(t)$ e $p(t)$. Tra l'altro, se si procede senza la trasformazione canonica:

$[(dq)/(dt)=p/16(q^2+p^2/64)] ^^ [(dp)/(dt)=-4q(q^2+p^2/64)] rarr$

$rarr 16/p(dq)/(dt)=-1/(4q)(dp)/(dt) rarr$

$rarr q(dq)/(dt)+p/64(dp)/(dt)=0 rarr$

$rarr (d(q^2+p^2/64))/(dt)=0 rarr$

$rarr q^2+p^2/64=C rarr$

$rarr [(dq)/(dt)=C/16p] ^^ [(dp)/(dt)=-4Cq] rarr$

$rarr [(d^2q)/(dt^2)=-C^2/4q] ^^ [(d^2p)/(dt^2)=-C^2/4p] rarr$

$rarr [(d^2q)/(dt^2)+C^2/4q=0] ^^ [(d^2p)/(dt^2)+C^2/4p=0]$

si ottengono due equazioni differenziali ordinarie del tipo oscillatore armonico.

[Jace2]

Anche se in enorme ritardo, ti ringrazio per la risposta! Mi è stata utile e ho più chiaro il motivo.

J.