Terzo principio della dinamica
Tralasciando l'enunciato e la derivazione di questo principio, partiamo dal seguente risultato:
$ \vecF_i=\vec0 $ , $ \vecM_{i_{\Omega}}=\vec0 $ ( dove il pedice $ i $ indica "interne").
Se applichiamo questo risultato ad un sistema formato da due soli punti materiali si ricavano informazioni dinamiche sulle forze interne:
$ \vecf_12+\vecf_21=\vecF_i=\vec0 $ e quindi $ \vecf_12=-\vecf_21 $
$ \vecm_{12_\Omega}+\vecm_{21_\Omega}=\vecM_{i_\Omega}=\vec0 $ e quindi $ \vecm_{12_\Omega}=-\vecm_{21_\Omega} $
Le due forze costituiscono una coppia di forze di braccio nullo!
Ora supponiamo che il sistema sia costituito da tre punti materiali:
$ \vecf_12+\vecf_13+\vecf_21+\vecf_23+\vecf_31+\vecf_32=\vecF_i=\vec0 $
$ \vecm_{12_\Omega}+\vecm_{13_\Omega}+\vecm_{21_\Omega}+\vecm_{23_\Omega}+\vecm_{31_\Omega}+\vecm_{32_\Omega}=\vecM_{i_\Omega}=\vec0 $
Non riesco a capire quale sia il ragionamento con cui procedere per trarre le seguenti conclusioni:
$\vecf_{ij}=-\vecf_{ji}$
$ m_{ij_\Omega}=-\vecm_{ji_\Omega} $
$ \vecF_i=\vec0 $ , $ \vecM_{i_{\Omega}}=\vec0 $ ( dove il pedice $ i $ indica "interne").
Se applichiamo questo risultato ad un sistema formato da due soli punti materiali si ricavano informazioni dinamiche sulle forze interne:
$ \vecf_12+\vecf_21=\vecF_i=\vec0 $ e quindi $ \vecf_12=-\vecf_21 $
$ \vecm_{12_\Omega}+\vecm_{21_\Omega}=\vecM_{i_\Omega}=\vec0 $ e quindi $ \vecm_{12_\Omega}=-\vecm_{21_\Omega} $
Le due forze costituiscono una coppia di forze di braccio nullo!
Ora supponiamo che il sistema sia costituito da tre punti materiali:
$ \vecf_12+\vecf_13+\vecf_21+\vecf_23+\vecf_31+\vecf_32=\vecF_i=\vec0 $
$ \vecm_{12_\Omega}+\vecm_{13_\Omega}+\vecm_{21_\Omega}+\vecm_{23_\Omega}+\vecm_{31_\Omega}+\vecm_{32_\Omega}=\vecM_{i_\Omega}=\vec0 $
Non riesco a capire quale sia il ragionamento con cui procedere per trarre le seguenti conclusioni:
$\vecf_{ij}=-\vecf_{ji}$
$ m_{ij_\Omega}=-\vecm_{ji_\Omega} $
Risposte
Mi pare che tu abbia invertito il ragionamento, ossia hai scambiato gli effetti con le cause.
Qui sta l'errore. Il terzo principio non lo derivi...è un principio, appunto. E' una legge di natura, un fatto sperimentale.
No! La relazione \(\displaystyle \vec f_{12}=-\vec f_{21} \) non è una conseguenza del fatto che la somma delle forze interne è nulla, semmai è il contrario: siccome ogni coppia di punti esercita reciprocamente coppie di forze opposte (per il terzo principio), allora la somma delle forze interne è nulla.
Non c'è nessun ragionamento da fare. La relazione \(\displaystyle \vec f_{ij}=-\vec f_{ji} \) è vera per il terzo principio, punto.
"TS778LB":
Tralasciando l'enunciato e la derivazione di questo principio
Qui sta l'errore. Il terzo principio non lo derivi...è un principio, appunto. E' una legge di natura, un fatto sperimentale.
"TS778LB":
Se applichiamo questo risultato ad un sistema formato da due soli punti materiali si ricavano informazioni dinamiche sulle forze interne:
.....e quindi \(\displaystyle \vec f_{12}=-\vec f_{21} \)
No! La relazione \(\displaystyle \vec f_{12}=-\vec f_{21} \) non è una conseguenza del fatto che la somma delle forze interne è nulla, semmai è il contrario: siccome ogni coppia di punti esercita reciprocamente coppie di forze opposte (per il terzo principio), allora la somma delle forze interne è nulla.
"TS778LB":
Non riesco a capire quale sia il ragionamento con cui procedere per trarre le seguenti conclusioni...
Non c'è nessun ragionamento da fare. La relazione \(\displaystyle \vec f_{ij}=-\vec f_{ji} \) è vera per il terzo principio, punto.
Edit: sono andato a rincontrollare perché mi pareva strano.
Dalle equazioni cardinali si ricava solo che hanno stessa direzione ma verso opposto, che siano uguali in modulo non si può ricavare essendo un principio
Comunque che il braccio sia nullo mi pare una assurdità.
Anche se assumi come polo uno dei due corpi, a meno che non siano lo stesso corpo, hanno per forza una distanza $d$ che è il braccio del momento sull'altro corpo, ovviamente parlando di momenti non nulli di forze non nulle
Dalle equazioni cardinali si ricava solo che hanno stessa direzione ma verso opposto, che siano uguali in modulo non si può ricavare essendo un principio
Comunque che il braccio sia nullo mi pare una assurdità.
Anche se assumi come polo uno dei due corpi, a meno che non siano lo stesso corpo, hanno per forza una distanza $d$ che è il braccio del momento sull'altro corpo, ovviamente parlando di momenti non nulli di forze non nulle
"In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale $ \vecQ $ e il momento angolare totale $ \vecP_\Omega $ rispetto a un polo fisso di un sistema materiale libero ( $ \vecF^{ext}=\vec0, \vecM_{\Omega}^{ext}=\vec0 $ ) si conservano"
Segue:
$ \vecF^{i n t}=\frac{d\vecQ}{dt}=\vec0, \vecM_{\Omega}^{i n t}=\frac{d\vecP_{\Omega}}{dt}=\vec0 $
Considerando un sistema formato da due soli punti $P_1,P_2$ interagenti segue il "Principio di azione e reazione":
$\vecF^{i n t}=\vecf_12+\vecf_21=\vec0$
$\vecf_12=-\vecf_21$ -> Le due forze sono uguali in modulo ed opposte in verso
$\vecM_{\Omega}^{i n t}=\vecm_{12_{\Omega}}+\vecm_{21_{\Omega}}=\vec0$
$\vecm_{12_{\Omega}}=-\vecm_{21_{\Omega}}$ -> Le due forze sono dirette lungo la stessa retta d'azione.
Concludendo: le forze di mutua interazione che si scambiano i due punti costituiscono una coppia di braccio nullo.
Quello che non riesco a capire è come si estende questa considerazione a sistema più complessi! Il principio di azione e reazione si estende ad ogni coppia di sottosistemi in cui posso idealmente dividere il sistema iniziale oppure ad ogni coppia di punti considerati singolarmente?
Ex: Il sistema è formato da 3 punti: $P_1$, $P_2$, $P_3$
Se considero $S_1=P_1+P_2$ e $S_2=P_3$ allora i due sottosistemi si scambiano una coppia di forze di braccio nullo e così per ogni altra combinazione di sottosistemi in cui uno contiene due punti e l'altro uno. Se invece considero i tre punti singolarmente ho 3 coppie di forze e 3 coppie di momenti. Ognuna di queste coppie è formata da vettori uguali ed opposti? Come posso far derivare questa considerazione applicando il formalismo usato per il sistema di due punti?
Grazie
Segue:
$ \vecF^{i n t}=\frac{d\vecQ}{dt}=\vec0, \vecM_{\Omega}^{i n t}=\frac{d\vecP_{\Omega}}{dt}=\vec0 $
Considerando un sistema formato da due soli punti $P_1,P_2$ interagenti segue il "Principio di azione e reazione":
$\vecF^{i n t}=\vecf_12+\vecf_21=\vec0$
$\vecf_12=-\vecf_21$ -> Le due forze sono uguali in modulo ed opposte in verso
$\vecM_{\Omega}^{i n t}=\vecm_{12_{\Omega}}+\vecm_{21_{\Omega}}=\vec0$
$\vecm_{12_{\Omega}}=-\vecm_{21_{\Omega}}$ -> Le due forze sono dirette lungo la stessa retta d'azione.
Concludendo: le forze di mutua interazione che si scambiano i due punti costituiscono una coppia di braccio nullo.
Quello che non riesco a capire è come si estende questa considerazione a sistema più complessi! Il principio di azione e reazione si estende ad ogni coppia di sottosistemi in cui posso idealmente dividere il sistema iniziale oppure ad ogni coppia di punti considerati singolarmente?
Ex: Il sistema è formato da 3 punti: $P_1$, $P_2$, $P_3$
Se considero $S_1=P_1+P_2$ e $S_2=P_3$ allora i due sottosistemi si scambiano una coppia di forze di braccio nullo e così per ogni altra combinazione di sottosistemi in cui uno contiene due punti e l'altro uno. Se invece considero i tre punti singolarmente ho 3 coppie di forze e 3 coppie di momenti. Ognuna di queste coppie è formata da vettori uguali ed opposti? Come posso far derivare questa considerazione applicando il formalismo usato per il sistema di due punti?
Grazie