Terza legge di keplero
ciao a tutti, sto studiando per un esame di meccanica razionale e in questo momento ho trovato qualcosa che non capisco sul libro riguardo la dimostrazione della terza legge di keplero
il tutto parte dicendo che l'area dell'ellisse descritto dai pianeti è $A=c/2 T$ Dove $c/2$ è la velocità areolare. L'area è anche $A= \pi*ab$ e quindi si ottiene $T^2/a^3= (\pi^2*4*b^2)/(a*c^2)$ poi si considera che la distanza max e min del pianeta da uno dei due fuochi è $DM=P/(1-e)$ $Dm=P/(1+e)$ dove $P=c^2/K(M+m)$
poi dice che la lunghezza dell'asse maggiore è data da $DM+Dm$ e quindi $2P/(1-e^2)$ e la distanza tra i due fuochi è $DM-Dm$ e quindi $2Pe/(1-e^2)$
ora ricordando che nell'ellissi $b^2=a^2-f^2$ il libro da che questo calcolo viene $P^2/(1-e^2)$ ma nonostante sia un calcolo elementare a me viene diversamente. Riuscite a dirmi se sbaglio io o il testo?
il tutto parte dicendo che l'area dell'ellisse descritto dai pianeti è $A=c/2 T$ Dove $c/2$ è la velocità areolare. L'area è anche $A= \pi*ab$ e quindi si ottiene $T^2/a^3= (\pi^2*4*b^2)/(a*c^2)$ poi si considera che la distanza max e min del pianeta da uno dei due fuochi è $DM=P/(1-e)$ $Dm=P/(1+e)$ dove $P=c^2/K(M+m)$
poi dice che la lunghezza dell'asse maggiore è data da $DM+Dm$ e quindi $2P/(1-e^2)$ e la distanza tra i due fuochi è $DM-Dm$ e quindi $2Pe/(1-e^2)$
ora ricordando che nell'ellissi $b^2=a^2-f^2$ il libro da che questo calcolo viene $P^2/(1-e^2)$ ma nonostante sia un calcolo elementare a me viene diversamente. Riuscite a dirmi se sbaglio io o il testo?
Risposte
Se $a = (1/2) * (DM + Dm) = p/(1 - e^2)$ e $f = (1/2) * (DM - Dm) = (pe)/(1 - e^2)$, allora $b^2 = a^2 - f^2 = (p/(1 - e^2))^2 - ((pe)/(1 - e^2))^2 = (p^2)/(1 - e^2)^2 * (1 - e^2) = (p^2)/(1 - e^2)
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