Termodinamica, relazioni di Maxwell

[dRic]

Salve, secondo il mio professore (ed in effetti è vero), dalle relazioni di maxwell per la termodinamica ottengo che

$((partial u)/(partial v))_T = T((partial s)/(partial v))_T - P$ dove con $ u $ , $s$ e $v$ intendo le grandezze molari (ovvero $ u = U/n, v = V/n$ ecc....)

PERO', per DEFINIZIONE, allo stesso tempo $((partial U)/(partial V))_T = -P $

MI spiegate come è possibile ? Sono io che ho capito male o le due cose si contraddicono palesemente?

[mdonatie]

Utilizza la definizione della funzione di stato in funzione dell'entropia...
Ad esempio la grandezza specifica dell'energia interna... (la indico con un cappello sulla grandezza)...

$\hatU=\hatU(\hatS,\hatV)$

Studiando il suo differenziale alle derivate parziali:

$d\hatU=((\partial\hatU)/(\partial\hatS))_(\hatV)d\hatS+((\partial\hatU)/(\partial\hatV))_(\hatS)d\hatV$

però come sai dalla definizione di energia interna questa può essere espressa come: $d\hatU=Td\hatS-Pd\hatV$

Per confronto perciò puoi risalire alle relazioni di Maxwell (tieni a mente, che queste derivate parziali sono in base all'energia interna in funzione di volume ed entropia)...
Quindi:

$((\partial\hatU)/(\partial\hatS))_(\hatV)=T$ ; $((\partial\hatU)/(\partial\hatV))_(\hatS)=-P$

Ora... esplicitando il differenziale della funzione entropia (in funzione di temperatura e volume) e sostituendo nell'equazione della funzione di stato da noi studiata, otteniamo delle relazioni che non dipenderanno più dall'entropia ma dalla temperatura...

$d\hatS=((\partial\hatS)/(\partialT))_(\hatV)dT+((\partial\hatS)/(\partial\hatV))_Td\hatV$

$d\hatU=T[((\partial\hatS)/(\partialT))_(\hatV)dT+((\partial\hatS)/(\partial\hatV))_Td\hatV]-Pd\hatV$

elaborando l'espressione arriviamo ad ottenere:

$d\hatU=T((\partial\hatS)/(\partialT))_(\hatV)dT+[((\partial\hatS)/(\partial\hatV))_T-P]_Td\hatV$

adesso per confronto della funzione energia interna rispetto temperatura e volume puoi ottenere le relazioni di Maxwell...

$((\partial\hatU)/(\partialT))_(\hatV)=T((\partial\hatS)/(\partialT))_(\hatV)$ ; $((\partial\hatU)/(\partial\hatV))_T=[((\partial\hatS)/(\partial\hatV))_T-P]_T$

Quindi quello che hai scritto (alla fine del post) non è corretto nel caso mantieni costante la temperatura...

[dRic]

Grazie mille, avevo sbagliato i pedici... non mi ero accorto che uno è tenendo costante la temperatura, l'altra l'entropia.