Termodinamica, recipiente diviso in due
Ciao a tutti sono veramente in difficoltà con il seguente esercizio:
[size=85]Un recipiente cilindrico chiuso di volume V0 è diviso in due
parti A e B da un pistone di spessore e capacità termica
trascurabili, scorrevole senza attriti lungo il cilindro. Il pistone e
le pareti del cilindro, tranne la base della parte A, sono
impermeabili al calore. Inizialmente le parti A e B hanno lo
stesso volume e contengono ciascuna 1 mole di gas perfetto
monoatomico a pressione P0. Al gas contenuto in A si fornisce in modo reversibile una
quantità di calore QA e alla fine il volume del gas in A è il doppio del volume del gas
contenuto in B. Calcolare:
a) la pressione e temperatura finale del gas nella parte B del recipiente
b) la pressione e temperatura finale del gas nella parte A del recipiente
c) il lavoro WB subito dal gas nella parte B del recipiente
d) il calore QA fornito al gas nella parte A del recipiente.[/size]
Mi sono fermato ben presto poichè non riesco ad ottenere alcun dato numerico, cio che al contrario è richiesto dal testo.
Se $(V0)/2$ è il volume di ciascun recipiente, a trasformazione terminata facendo le debite proporzioni, i due volumi valgono: $Va1=(V0)/3$ e $Vb1=2/3 * V0$
Ritengo che nel contenitore A avvenga un processo isotermico, quindi in A la temperatura non cambia e il lavoro vale
(considero positivo il lavoro compiuto sul gas) $L=-n*R*T0*ln(4/3)$ Inoltre $(P1a)/(P0a) = (V1a)/(V0a) = 3/4$
La varazione di entropia vale $ΔS=n*R*ln(4/3)$
Nel contenitore B avviene una trasformazione adiabatica. Non mi dilungo sui calcoli ma, utilizzando le formule per le trasformazioni adiabatiche trovo anche in questo caso il rapporto tra la pressione finale e quella iniziale e il rapporto tra la temperatura finale e quella iniziale.
Se in B la trasformazione è reversibile Q=0 , la variazione di entropia dovrà essere pari a zero.
Insomma riesco solo a trovare dei rapporti di grandezze ma, non avendo alcun valore numerico tra i dati iniziali non arrivo a niente.
ps avrei un esame tra 4 giorni
[size=85]Un recipiente cilindrico chiuso di volume V0 è diviso in due
parti A e B da un pistone di spessore e capacità termica
trascurabili, scorrevole senza attriti lungo il cilindro. Il pistone e
le pareti del cilindro, tranne la base della parte A, sono
impermeabili al calore. Inizialmente le parti A e B hanno lo
stesso volume e contengono ciascuna 1 mole di gas perfetto
monoatomico a pressione P0. Al gas contenuto in A si fornisce in modo reversibile una
quantità di calore QA e alla fine il volume del gas in A è il doppio del volume del gas
contenuto in B. Calcolare:
a) la pressione e temperatura finale del gas nella parte B del recipiente
b) la pressione e temperatura finale del gas nella parte A del recipiente
c) il lavoro WB subito dal gas nella parte B del recipiente
d) il calore QA fornito al gas nella parte A del recipiente.[/size]
Mi sono fermato ben presto poichè non riesco ad ottenere alcun dato numerico, cio che al contrario è richiesto dal testo.
Se $(V0)/2$ è il volume di ciascun recipiente, a trasformazione terminata facendo le debite proporzioni, i due volumi valgono: $Va1=(V0)/3$ e $Vb1=2/3 * V0$
Ritengo che nel contenitore A avvenga un processo isotermico, quindi in A la temperatura non cambia e il lavoro vale
(considero positivo il lavoro compiuto sul gas) $L=-n*R*T0*ln(4/3)$ Inoltre $(P1a)/(P0a) = (V1a)/(V0a) = 3/4$
La varazione di entropia vale $ΔS=n*R*ln(4/3)$
Nel contenitore B avviene una trasformazione adiabatica. Non mi dilungo sui calcoli ma, utilizzando le formule per le trasformazioni adiabatiche trovo anche in questo caso il rapporto tra la pressione finale e quella iniziale e il rapporto tra la temperatura finale e quella iniziale.
Se in B la trasformazione è reversibile Q=0 , la variazione di entropia dovrà essere pari a zero.
Insomma riesco solo a trovare dei rapporti di grandezze ma, non avendo alcun valore numerico tra i dati iniziali non arrivo a niente.
ps avrei un esame tra 4 giorni
Risposte
Senza dati numerici è impossibile arrivere a qualche numero..
Forse il problema sottointende che $P_0$ sia la pressione atmosferica (1,01 $10^5$ Pa) e che $T_0$=290K.
Se hai i risultati prova a vedere se corrispondono.
Forse il problema sottointende che $P_0$ sia la pressione atmosferica (1,01 $10^5$ Pa) e che $T_0$=290K.
Se hai i risultati prova a vedere se corrispondono.
Purtroppo non ho i risultati. Se è come di ci ti devo cosiderare solamente po visto che T0 non viene menzionata nel testo.
Il problema è risolvibile assumendo che $p_0$ e $V_0$ siano note.
All'inizio le due parti sono nelle stesse condizioni di pressione e volume quindi anche la temperatura $T_0$ sarà uguale e determinabile dalla legge dei gas perfetti.
A questo punto alla domanda c) si risponde immediatamente. Il gas in B infatti compie una trasformazione adiabatica reversibile (visto che il calore è somministrato in A reversibilmente tutte le trasformazioni sono reversibili) per cui il lavoro si trova dalla formula che permette di calcolare il lavoro compiuto da una trasformazione adiabatica reversibile noto il rapporto tra i volumi iniziali e finali e la temperatura iniziale (non scrivo la formula, ricavala tu).
Noto il rapporto tra i volumi e la pressione $p_0$ iniziale, allora è nota anche dalla relazione delle adiabatiche reversibili la pressione finale in B.
Se ci spostiamo in A si osserva che la pressione iniziale e finale devono essere uguali a quelle in B , visto che il pistone scorre senza attrito.
Note la pressione iniziale e finale e il rapporto tra volume iniziale e finale in A si può ricavare il coefficiente $m$ della politropica della trasformazione compiuta in A ($pV^m="cost"$).
Noto quel coefficiente possimo facilmente calcolare il lavoro compiuto dal gas in A (espressione simile al lavoro delle adiabatiche reversibili, tenendo conto del coefficiente politropico). [Questo è possibile perché tutte le trasformazioni sono reversibili quindi si può ricavare l'integrale del lavoro].
A questo punto in A si conosce tutto, anche temperatura iniziale e finale.
Applicando il primo principio in A si trova quindi il calore somministrato $Q_a$.
All'inizio le due parti sono nelle stesse condizioni di pressione e volume quindi anche la temperatura $T_0$ sarà uguale e determinabile dalla legge dei gas perfetti.
A questo punto alla domanda c) si risponde immediatamente. Il gas in B infatti compie una trasformazione adiabatica reversibile (visto che il calore è somministrato in A reversibilmente tutte le trasformazioni sono reversibili) per cui il lavoro si trova dalla formula che permette di calcolare il lavoro compiuto da una trasformazione adiabatica reversibile noto il rapporto tra i volumi iniziali e finali e la temperatura iniziale (non scrivo la formula, ricavala tu).
Noto il rapporto tra i volumi e la pressione $p_0$ iniziale, allora è nota anche dalla relazione delle adiabatiche reversibili la pressione finale in B.
Se ci spostiamo in A si osserva che la pressione iniziale e finale devono essere uguali a quelle in B , visto che il pistone scorre senza attrito.
Note la pressione iniziale e finale e il rapporto tra volume iniziale e finale in A si può ricavare il coefficiente $m$ della politropica della trasformazione compiuta in A ($pV^m="cost"$).
Noto quel coefficiente possimo facilmente calcolare il lavoro compiuto dal gas in A (espressione simile al lavoro delle adiabatiche reversibili, tenendo conto del coefficiente politropico). [Questo è possibile perché tutte le trasformazioni sono reversibili quindi si può ricavare l'integrale del lavoro].
A questo punto in A si conosce tutto, anche temperatura iniziale e finale.
Applicando il primo principio in A si trova quindi il calore somministrato $Q_a$.
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