Termodinamica ed evaporazione
Ciao a tutti,
sto lavorando su un modello del funzionamento di un forno non scritto da me. Nel caso non sappiate darmi risposte specifiche, sapreste almeno indicarmi un testo per cercare queste informazioni?
Ho due problemi:
1) La prima è la seguente coppia di equazioni:
$$M_{cr\to a}=K_{ev}$$
$$K_{ev}=
\begin{cases}
\frac{c_{cr,ev}}{T_{cr}-373.0}(1-\phi(t)) \text{ se } T_{cr}>373.0\\
0.0 \text{ altrimenti}
\end{cases}$$
in cui:
- $M_{cr\to a}$ indica la massa di acqua evaporata al secondo dal cibo in cottura
- $c_{cr,ev}$ dovrebbe indicare un calore specifico (dico dovrebbe perchè non è specificato
)
- $T_{cr}$ indica la temperatura (in gradi Kelvin) della crosta del cibo in cottura
- $\phi$ indica il grado di umidità dell'aria
Nelle equazioni non tornano le unità di misura quindi sono per forza errate. Sospetto che $K_{ev}$ dovesse essere qualcosa tipo un coefficiente di scambio termico, e che la prima equazione dovesse legarlo al tasso di evaporazione tramite una qualche relazione che è rimasta a metà...
Avete idea di come potessero essere le relazioni originarie?
2) il secondo problema è il seguente: nel corso della cottura il cibo rilascia vapore, aumentanto l'umidità dell'aria, che quindi scambia calore con gli altri oggetti del forno in modo diverso.
Conoscete una relazione che esprima la correlazione tra i coefficienti di scambio termico dell'aria e l'umidità della stessa?
sto lavorando su un modello del funzionamento di un forno non scritto da me. Nel caso non sappiate darmi risposte specifiche, sapreste almeno indicarmi un testo per cercare queste informazioni?
Ho due problemi:
1) La prima è la seguente coppia di equazioni:
$$M_{cr\to a}=K_{ev}$$
$$K_{ev}=
\begin{cases}
\frac{c_{cr,ev}}{T_{cr}-373.0}(1-\phi(t)) \text{ se } T_{cr}>373.0\\
0.0 \text{ altrimenti}
\end{cases}$$
in cui:
- $M_{cr\to a}$ indica la massa di acqua evaporata al secondo dal cibo in cottura
- $c_{cr,ev}$ dovrebbe indicare un calore specifico (dico dovrebbe perchè non è specificato
)- $T_{cr}$ indica la temperatura (in gradi Kelvin) della crosta del cibo in cottura
- $\phi$ indica il grado di umidità dell'aria
Nelle equazioni non tornano le unità di misura quindi sono per forza errate. Sospetto che $K_{ev}$ dovesse essere qualcosa tipo un coefficiente di scambio termico, e che la prima equazione dovesse legarlo al tasso di evaporazione tramite una qualche relazione che è rimasta a metà...
Avete idea di come potessero essere le relazioni originarie?
2) il secondo problema è il seguente: nel corso della cottura il cibo rilascia vapore, aumentanto l'umidità dell'aria, che quindi scambia calore con gli altri oggetti del forno in modo diverso.
Conoscete una relazione che esprima la correlazione tra i coefficienti di scambio termico dell'aria e l'umidità della stessa?
Risposte
La prima espressione credo sia relativa ad un bilancio materiale relativa alla quantità di acqua che diffonde dall'alimento all'ambiente del sistema forno.
Se così fosse, il parametro $K_{ev}$ indicherebbe un coefficiente di trasporto materiale relativo al salto globale del gradiente di concentrazione di umidità tra alimento ed ambiente.
In tal caso la relazione si potrebbe definire così:
\begin{equation*} \dot{M}_{cr\rightarrow a}=K_{ev} S \Delta c_a\end{equation*}
In questa espressione la massa di acqua che evapora nell'unità di tempo sarebbe espressa dal coefficiente di scambio $K$ dalla superficie dell'alimento $S$ e dal gradiente di concentrazione di umidità $\Delta c_a$.
Solitamente la relazione di trasferimento simultaneo di materia e calore ti permette di definire alcuni parametri... nel caso tu li conoscessi. Considerando un sistema costituito da un generico liquido a contatto con una fase gassosa, allora potremmo definire la relazione di scambio in relazione ai due differenti gradienti di materia e temperatura.
\begin{equation*}q=\underbrace{\lambda k_Y \left(Y_s-Y_G\right)}_{\begin{matrix}\text{flusso di calore}\\\text{di evaporazione}\end{matrix}}+\underbrace{h\left(T_s-T_G\right)}_{\begin{matrix}\text{flusso di calore}\\\text{di convezione}\end{matrix}}\end{equation*}
In cui ho indicato con $\lambda$ l'entalpia di evaporazione del liquido, con $k_Y$ il coefficiente di trasporto di materia, cone $Y$ l'umidità assoluta su $s$ la superficie dell'alimento e $G$ nel gas in ambiente, con $h$ il coefficiente di trasporto di calore e con $T$ la temperatura.
Ipotizzando che il sistema sia in condizioni stazionarie (per semplicità) ovvero che il calore scambiato dal trasporto materiale sia uguale a quello trasportato per convezione dal forno:
\begin{equation*}h=-\frac{\lambda k_Y \left(Y_s-Y_G\right)}{T_s-T_G}\end{equation*}
In questo caso si ha che $Y_G$ è funzione della temperatura e quindi $Y_G(T_G)$.
Per risolvere facilmente questo ostacolo, considerando il rapporto molare ed infine l'equazione di Antoine relativa all'acqua (componente trasferito):
\begin{equation*}\begin{cases} Y_G(T_G)=\frac{y_G(T_G)}{1-y_G(T_G)}\\y_G(T_G)=\frac{p_{s_a}(T_G)}{P}\\\ln{p_{s_a}(T_G)}=A+\frac{B}{T_G+C}\end{cases}\end{equation*}
Con grado di umidità intendi un rapporto di umidità relativa tra umidità dei gas del forno ed umidità sulla superficie, giusto?
Se così fosse, il parametro $K_{ev}$ indicherebbe un coefficiente di trasporto materiale relativo al salto globale del gradiente di concentrazione di umidità tra alimento ed ambiente.
In tal caso la relazione si potrebbe definire così:
\begin{equation*} \dot{M}_{cr\rightarrow a}=K_{ev} S \Delta c_a\end{equation*}
In questa espressione la massa di acqua che evapora nell'unità di tempo sarebbe espressa dal coefficiente di scambio $K$ dalla superficie dell'alimento $S$ e dal gradiente di concentrazione di umidità $\Delta c_a$.
Solitamente la relazione di trasferimento simultaneo di materia e calore ti permette di definire alcuni parametri... nel caso tu li conoscessi. Considerando un sistema costituito da un generico liquido a contatto con una fase gassosa, allora potremmo definire la relazione di scambio in relazione ai due differenti gradienti di materia e temperatura.
\begin{equation*}q=\underbrace{\lambda k_Y \left(Y_s-Y_G\right)}_{\begin{matrix}\text{flusso di calore}\\\text{di evaporazione}\end{matrix}}+\underbrace{h\left(T_s-T_G\right)}_{\begin{matrix}\text{flusso di calore}\\\text{di convezione}\end{matrix}}\end{equation*}
In cui ho indicato con $\lambda$ l'entalpia di evaporazione del liquido, con $k_Y$ il coefficiente di trasporto di materia, cone $Y$ l'umidità assoluta su $s$ la superficie dell'alimento e $G$ nel gas in ambiente, con $h$ il coefficiente di trasporto di calore e con $T$ la temperatura.
Ipotizzando che il sistema sia in condizioni stazionarie (per semplicità) ovvero che il calore scambiato dal trasporto materiale sia uguale a quello trasportato per convezione dal forno:
\begin{equation*}h=-\frac{\lambda k_Y \left(Y_s-Y_G\right)}{T_s-T_G}\end{equation*}
In questo caso si ha che $Y_G$ è funzione della temperatura e quindi $Y_G(T_G)$.
Per risolvere facilmente questo ostacolo, considerando il rapporto molare ed infine l'equazione di Antoine relativa all'acqua (componente trasferito):
\begin{equation*}\begin{cases} Y_G(T_G)=\frac{y_G(T_G)}{1-y_G(T_G)}\\y_G(T_G)=\frac{p_{s_a}(T_G)}{P}\\\ln{p_{s_a}(T_G)}=A+\frac{B}{T_G+C}\end{cases}\end{equation*}
Con grado di umidità intendi un rapporto di umidità relativa tra umidità dei gas del forno ed umidità sulla superficie, giusto?
Grazie intanto per la risposta, dovrò rileggermela con un po' di calma perchè in fisica sono poco ferrata..
Nel modello per grado di umidità si intende rapporto tra la percentuale di umidità dell'aria e la percentuale di umidità di saturazione..
P.S. sai anche qualche testo da consigliarmi per approfondire questi argomenti (sperando di trovarlo in biblioteca)?
mi servirebbe magari sia qualcosa di teorico per capire i principi fondamentali, sia qualcosa di un po' applicativo: il modello che stiamo trattando lavora a parametri concentrati, quindi mi servirebbe qualcosa che lavori in questi termini
"mdonatie":
Con grado di umidità intendi un rapporto di umidità relativa tra umidità dei gas del forno ed umidità sulla superficie, giusto?
Nel modello per grado di umidità si intende rapporto tra la percentuale di umidità dell'aria e la percentuale di umidità di saturazione..
P.S. sai anche qualche testo da consigliarmi per approfondire questi argomenti (sperando di trovarlo in biblioteca)?
mi servirebbe magari sia qualcosa di teorico per capire i principi fondamentali, sia qualcosa di un po' applicativo: il modello che stiamo trattando lavora a parametri concentrati, quindi mi servirebbe qualcosa che lavori in questi termini
Ripensandoci... applicando l'analogia di Chilton-Colburn, per cui:
\begin{equation*} \frac{h}{k_Y}=c_sLe^{\alpha}\end{equation*}
allora, la relazione precedente sarebbe
\begin{equation*}c_sLe^{\alpha}=-\frac{\lambda Y_s \left(1-\frac{Y_G}{Y_s}\right)}{T_s-T_G} \end{equation*}
In tal caso però la relazione sarebbe simile a quella che intendevi te...
\begin{equation*}\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{1-\phi}{c_s\left(T_G-T_s\right)}\end{equation*}
Poi se veramente derivasse da quest'ultima allora:
\begin{equation*}\frac{K_{ev}}{c_s^2}=\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{1-\phi}{c_s\left(T_G-T_s\right)}\end{equation*}
Comunque...
I testi che posso consigliarti sono dei testi di applicazione ingegneristica come il:
\begin{equation*} \frac{h}{k_Y}=c_sLe^{\alpha}\end{equation*}
allora, la relazione precedente sarebbe
\begin{equation*}c_sLe^{\alpha}=-\frac{\lambda Y_s \left(1-\frac{Y_G}{Y_s}\right)}{T_s-T_G} \end{equation*}
In tal caso però la relazione sarebbe simile a quella che intendevi te...
\begin{equation*}\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{1-\phi}{c_s\left(T_G-T_s\right)}\end{equation*}
Poi se veramente derivasse da quest'ultima allora:
\begin{equation*}\frac{K_{ev}}{c_s^2}=\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{1-\phi}{c_s\left(T_G-T_s\right)}\end{equation*}
Comunque...
I testi che posso consigliarti sono dei testi di applicazione ingegneristica come il:
- [*:22999r20]Bird - Trasport Phenomena[/*:m:22999r20]
[*:22999r20]Cussler - Diffusion Mass Trasfer in Fluid System[/*:m:22999r20]
[*:22999r20]Incropera - Heat and Mass Trasfer[/*:m:22999r20][/list:u:22999r20]
Comunque cercando online puoi trovare molto... ad esempio:
- [*:22999r20]http://www.polymertechnology.it/bacheca/PICA/files/15_Materia.pdf[/*:m:22999r20]
[*:22999r20]http://www.treccani.it/export/sites/default/Portale/sito/altre_aree/Tecnologia_e_Scienze_applicate/enciclopedia/italiano_vol_5/223_248__x4_2_Fenomeni_x_ita.pdf[/*:m:22999r20][/list:u:22999r20]
grazie mille, sia della risposta che del materiale! Spero di riuscire a sviscerarlo a dovere, grazie!
Ciao, ho provato a meditarci ancora...
dunque
come riportato anche in un link che mi hai segnalato, l'unica espressione che trovo di questa analogia è
$$\frac{k}{h}=\biggl(\biggl(\frac{D}{\lambda}\biggr)^2\frac{1}{\rho C_p}\biggr)^{1/3}$$
dove
$h$: coefficiente di scambio termico
$D$: diffusività di materia
$\lambda$: conducibilità termica
$\rho$: densità
$C_p$: calore specifico a pressione costante
per cui mi sfugge il legame con quella riportata da te (anche perchè non capisco la notazione da te utilizzata)...
Inoltre non capisco a questo passaggio
da dove viene la prima uguaglianza
$$\frac{K_{ev}}{c_s^2}=\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}$$
dunque
"mdonatie":
applicando l'analogia di Chilton-Colburn, per cui:
\begin{equation*} \frac{h}{k_Y}=c_sLe^{\alpha}\end{equation*}
come riportato anche in un link che mi hai segnalato, l'unica espressione che trovo di questa analogia è
$$\frac{k}{h}=\biggl(\biggl(\frac{D}{\lambda}\biggr)^2\frac{1}{\rho C_p}\biggr)^{1/3}$$
dove
$h$: coefficiente di scambio termico
$D$: diffusività di materia
$\lambda$: conducibilità termica
$\rho$: densità
$C_p$: calore specifico a pressione costante
per cui mi sfugge il legame con quella riportata da te (anche perchè non capisco la notazione da te utilizzata)...
Inoltre non capisco a questo passaggio
"mdonatie":
Poi se veramente derivasse da quest'ultima allora:
\begin{equation*}\frac{K_{ev}}{c_s^2}=\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{1-\phi}{c_s\left(T_G-T_s\right)}\end{equation*}
da dove viene la prima uguaglianza
$$\frac{K_{ev}}{c_s^2}=\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}$$
ah aspetta, la prima parte forse me la sono chiarita: con $Le$ intendi un simbolo unico? Intendi il numero di Lewis?
Ma allora in tal caso la analogia di Chilton-Colborn come 'ho scritta io sarebbe
$$\frac{k}{h}=\frac{\lambda}{D}(Le)^{-1/3}$$
che somiglia in effetti alla tua.
è corretto?
Ma allora in tal caso la analogia di Chilton-Colborn come 'ho scritta io sarebbe
$$\frac{k}{h}=\frac{\lambda}{D}(Le)^{-1/3}$$
che somiglia in effetti alla tua.
è corretto?
Il numero di Lewis indica il rapporto tra due numeri adimensionali, il numero di Schmidt e il numero di Prandtl.
\begin{equation*}Le=\frac{Sc}{Pr}\end{equation*}
Questi due numeri a loro volta indicano un rapporto che ci permette di affermare se il trasporto è dovuto al calore o al trasporto materiale (corretto).
Ad esempio il numero di Prandtl viene indicato come $\frac{\mu c_p}{\kappa}$ ed esprime il rapporto tra il trasporto di calore per via convettiva e il trasporto di calore per via conduttiva.
Il numero di Schmidt, $\frac{\mu}{\rho \mathcal{D}_m}$ anch'esso definisce un rapporto tra il trasporto di materia per via convettiva e il trasporto di materia per diffusione.
Quindi il numero di Lewis (adimensionale) permette di ottenere un valore numerico in grado di valutare il trasporto materiale rispetto al trasporto del calore.
Dopo questa premessa passo all'analogia di Chilton-Colburn...
L'analogia di Chilton-Colburn afferma che i numeri di Colburn possono essere correlati tra loro... ovviamente sempre su base empirica...
\begin{equation*}j_H=j_D=j_M\end{equation*}
Nel nostro caso riferendici ai soli numeri $j_H$ (numero di Colburn per il calore) e $j_D$ (numero di Colburn per la materia):
\begin{equation*}j_H=\frac{Nu}{aRe^{\alpha}Pr^{\beta}} \qquad ; \qquad j_D=\frac{Sh}{bRe^\alpha Sc^\beta}\end{equation*}
Dove $a$,$b$,$\alpha$ e $\beta$ sono costanti empiriche e $Re$ il numero di Reynolds.
In tal caso se questa analogia fosse vera per il sistema studiato:
\begin{equation*}\frac{Nu}{Sh}=\frac{a}{b}\left(\frac{Pr}{Sc}\right)^\beta\end{equation*}
I numeri di Nusselt e di Sherwood sono anch'essi dei numeri adimensionali che ci permettono di definire i parametri di trasporto relativi al calore e alla materia.
Dallo studio del trasporto di calore $h=Nu\frac{\kappa}{D_e}$ in cui $Nu=f(Re,Pr,Gr_H,x/D_e)$
mentre per il trasporto di materia $k_m=Sh\frac{\mathcal{D}_m}{D_e}$ in cui $Sh=g(Re,Sc,Gr_m,x/D_e)$.
Detto questo, effettuando delle sostituzioni, l'analogia di Chilton risulterebbe la seguente:
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}= \frac{a\kappa}{b\mathcal{D}_m} \left(\frac{Pr}{Sc}\right)^{\beta}\end{equation*}
Quindi, moltiplicando per $\frac{\mu c_p \rho}{\mu c_p \rho}$ (ovvero per 1):
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}=\frac{a}{b} \underbrace{\frac{\kappa}{\mu c_p}}_{1/Pr}\underbrace{\frac{\mu}{\rho \mathcal{D}_m}}_{Sc} \rho c_p \left(\frac{Pr}{Sc}\right)^{\beta}=\rho c_p\frac{a}{b}\left(\frac{Sc}{Pr}\right)^{1-\beta}=\rho c_p\frac{a}{b}Le^{1-\beta}\end{equation*}
Quindi in maniera più compatta, considerando $\rho c_p=c_s$, $\frac{a}{b}=A$ e $1-\beta=\gamma$:
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}=Ac_sLe^\gamma\end{equation*}
Nei casi più semplici di trasferimento di materia e calore possiamo quindi approssimare il rapporto $h/k_m$ considerando la costante $A$ unitaria e $\gamma=0.56$.
Questa relazione deriva da dati sperimentali relativi all'evaporazione di diversi composti volatili in aria:
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}=c_s Le^{0.56}\end{equation*}
Comunque la tua ultima elaborazione è corretta... meno per quel $-1/3$ che in realtà diventerebbe un $-2/3$(corretto) se consideri quel termine che io ho chiamato $\beta=1/3$
\begin{equation*}Le=\frac{Sc}{Pr}\end{equation*}
Questi due numeri a loro volta indicano un rapporto che ci permette di affermare se il trasporto è dovuto al calore o al trasporto materiale (corretto).
Ad esempio il numero di Prandtl viene indicato come $\frac{\mu c_p}{\kappa}$ ed esprime il rapporto tra il trasporto di calore per via convettiva e il trasporto di calore per via conduttiva.
Il numero di Schmidt, $\frac{\mu}{\rho \mathcal{D}_m}$ anch'esso definisce un rapporto tra il trasporto di materia per via convettiva e il trasporto di materia per diffusione.
Quindi il numero di Lewis (adimensionale) permette di ottenere un valore numerico in grado di valutare il trasporto materiale rispetto al trasporto del calore.
Dopo questa premessa passo all'analogia di Chilton-Colburn...
L'analogia di Chilton-Colburn afferma che i numeri di Colburn possono essere correlati tra loro... ovviamente sempre su base empirica...
\begin{equation*}j_H=j_D=j_M\end{equation*}
Nel nostro caso riferendici ai soli numeri $j_H$ (numero di Colburn per il calore) e $j_D$ (numero di Colburn per la materia):
\begin{equation*}j_H=\frac{Nu}{aRe^{\alpha}Pr^{\beta}} \qquad ; \qquad j_D=\frac{Sh}{bRe^\alpha Sc^\beta}\end{equation*}
Dove $a$,$b$,$\alpha$ e $\beta$ sono costanti empiriche e $Re$ il numero di Reynolds.
In tal caso se questa analogia fosse vera per il sistema studiato:
\begin{equation*}\frac{Nu}{Sh}=\frac{a}{b}\left(\frac{Pr}{Sc}\right)^\beta\end{equation*}
I numeri di Nusselt e di Sherwood sono anch'essi dei numeri adimensionali che ci permettono di definire i parametri di trasporto relativi al calore e alla materia.
Dallo studio del trasporto di calore $h=Nu\frac{\kappa}{D_e}$ in cui $Nu=f(Re,Pr,Gr_H,x/D_e)$
mentre per il trasporto di materia $k_m=Sh\frac{\mathcal{D}_m}{D_e}$ in cui $Sh=g(Re,Sc,Gr_m,x/D_e)$.
Detto questo, effettuando delle sostituzioni, l'analogia di Chilton risulterebbe la seguente:
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}= \frac{a\kappa}{b\mathcal{D}_m} \left(\frac{Pr}{Sc}\right)^{\beta}\end{equation*}
Quindi, moltiplicando per $\frac{\mu c_p \rho}{\mu c_p \rho}$ (ovvero per 1):
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}=\frac{a}{b} \underbrace{\frac{\kappa}{\mu c_p}}_{1/Pr}\underbrace{\frac{\mu}{\rho \mathcal{D}_m}}_{Sc} \rho c_p \left(\frac{Pr}{Sc}\right)^{\beta}=\rho c_p\frac{a}{b}\left(\frac{Sc}{Pr}\right)^{1-\beta}=\rho c_p\frac{a}{b}Le^{1-\beta}\end{equation*}
Quindi in maniera più compatta, considerando $\rho c_p=c_s$, $\frac{a}{b}=A$ e $1-\beta=\gamma$:
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}=Ac_sLe^\gamma\end{equation*}
Nei casi più semplici di trasferimento di materia e calore possiamo quindi approssimare il rapporto $h/k_m$ considerando la costante $A$ unitaria e $\gamma=0.56$.
Questa relazione deriva da dati sperimentali relativi all'evaporazione di diversi composti volatili in aria:
\begin{equation*}\frac{h}{k_m}=c_s Le^{0.56}\end{equation*}
Comunque la tua ultima elaborazione è corretta... meno per quel $-1/3$ che in realtà diventerebbe un $-2/3$(corretto) se consideri quel termine che io ho chiamato $\beta=1/3$
mi sfugge il legame con quella riportata da te (anche perchè non capisco la notazione da te utilizzata)...
Inoltre non capisco a questo passaggio
"mdonatie":
Poi se veramente derivasse da quest'ultima allora:
\begin{equation*}\frac{K_{ev}}{c_s^2}=\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{1-\phi}{c_s\left(T_G-T_s\right)}\end{equation*}
da dove viene la prima uguaglianza
$$\frac{K_{ev}}{c_s^2}=\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}$$
Dicevo che nel caso l'espressione scritta da te risultasse esatta, ovvero che:
\begin{equation*}K_{ev}=\frac{c_{cr}\left(1-\phi\right)}{T_{cr}-373}\end{equation*}
allora, in base alla relazione che avevo scritto:
\begin{equation*}\frac{Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{1-\phi}{c_{cr}\left(T_G-T_s\right)}\end{equation*}
Se dovessi moltiplicare per $c_{cr}^2$ ambo i membri:
\begin{equation*}\frac{c_{cr}^2 Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}=\frac{c_{cr}\left(1-\phi\right)}{T_G-T_s}\end{equation*}
Avrei quindi ricavato una relazione simile alla tua (sempre se fosse vero, sto giocando solo di matematica)... e quindi uguagliando:
\begin{equation*}K_{ev}=\frac{c_{cr}^2 Le^{\alpha}}{\lambda Y_s}\end{equation*}
Non sto dicendo che questi ultimi risultati abbiano un significato...
Ah ok, scusa non avevo capito! Grazie per l’esaustiva spiegazione, sei stato molto gentile..
Buon Natale!
Buon Natale!
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