[Termodinamica] Compressione adiabatica
L'esercizio è il seguente:
Due moli di gas perfetto monoatomico sono contenuto in un cilindro chiuso da un pistone senza massa e senza attriti, occupando un volume di 50l alla pressione di 1.1*10^5 Pa ottenuta dalla pressione atmosferica esterna e da un mucchio di sabbia sopra il pistone. Si supponga di aumentare il mucchietto di sabbia fino a ridurre il volume a 40l. Si supponga la trasformazione adiabatica quasi statica. Calcolare il lavoro scambiato da sistema con l'esterno.
Il risultato è un numero positivo...ma come è possibile se si tratta di una compressione?
Sapendo comunque che la trasformazione è adiabatica...che formula del lavoro bisogna usare?! Quella a temperatura costante?
Grazie per i chiarimenti.
Due moli di gas perfetto monoatomico sono contenuto in un cilindro chiuso da un pistone senza massa e senza attriti, occupando un volume di 50l alla pressione di 1.1*10^5 Pa ottenuta dalla pressione atmosferica esterna e da un mucchio di sabbia sopra il pistone. Si supponga di aumentare il mucchietto di sabbia fino a ridurre il volume a 40l. Si supponga la trasformazione adiabatica quasi statica. Calcolare il lavoro scambiato da sistema con l'esterno.
Il risultato è un numero positivo...ma come è possibile se si tratta di una compressione?
Sapendo comunque che la trasformazione è adiabatica...che formula del lavoro bisogna usare?! Quella a temperatura costante?
Grazie per i chiarimenti.
Risposte
In un'adiabatica $PV^gamma="costante"$.
Inoltre, essendo $DeltaQ=0$ per definizione, hai che $DeltaU=-W$ (I principio) da cui $W=-DeltaU=-nC_vDeltaT$, con $C_v$ calore specifico molare (dovrebbe essere $3/2R$ essendo il gas monoatomico, se la memoria non mi inganna).
P.S. Un consiglio: usa bene l'equazione di stato, puoi evitarti qualche conticino.
Inoltre, essendo $DeltaQ=0$ per definizione, hai che $DeltaU=-W$ (I principio) da cui $W=-DeltaU=-nC_vDeltaT$, con $C_v$ calore specifico molare (dovrebbe essere $3/2R$ essendo il gas monoatomico, se la memoria non mi inganna).
P.S. Un consiglio: usa bene l'equazione di stato, puoi evitarti qualche conticino.
beh il segno del lavoro è convenzionale, magari si riferisce all'esterno.
l'equazione dell'adiabatica è $ pV^y=cost $ con $y=(Cp)/(Cv)$ quindi integri il lavoro elementare $pdV$
$ int_(A)^(B) pdV $
tenendo conto che $ pV^y = cost => p0V0^y=p1V1^y => p=(p0V0^y)/(V^y) => pdV = p0V0^y*(dV)/(V^y) $
allora
$ int_(A)^(B) pdV = int_(A)^(B) p0V0^y*(dV)/(V^y)= p0V0^y*int_(A)^(B) *(dV)/(V^y) = p0V0^y*1/(1-y)*(V1^(1-y) - V0^(1-y)) = (p0V0*V0^(y-1))/(1-y)*(V1^(1-y) - V0^(1-y)) = (p0V0)/(y-1)*(1 - ((V0)/(V1))^(y-1)) $
l'equazione dell'adiabatica è $ pV^y=cost $ con $y=(Cp)/(Cv)$ quindi integri il lavoro elementare $pdV$
$ int_(A)^(B) pdV $
tenendo conto che $ pV^y = cost => p0V0^y=p1V1^y => p=(p0V0^y)/(V^y) => pdV = p0V0^y*(dV)/(V^y) $
allora
$ int_(A)^(B) pdV = int_(A)^(B) p0V0^y*(dV)/(V^y)= p0V0^y*int_(A)^(B) *(dV)/(V^y) = p0V0^y*1/(1-y)*(V1^(1-y) - V0^(1-y)) = (p0V0*V0^(y-1))/(1-y)*(V1^(1-y) - V0^(1-y)) = (p0V0)/(y-1)*(1 - ((V0)/(V1))^(y-1)) $
@cyd
Integrando $PdV$, sapendo che $PV^y=cost$, ottengo:
$ int_(i)^(f) PdV =int_(i)^(f) cost/v^y dV=costint_(i)^(f) 1/v^y=P_iV_i^y(V_f^(1-y)/(1-y)-V_i^(1-y)/(1-y)) $
credo che questo sia equivalente al tuo che hai cercato di mettere in una forma migliore...però, al tuo terzo passaggio, il denominatore non dovrebbe essere 1-y come l'esponente?
@Paolo90
Allora anche se è un'adiabatica la temperatura varia? Per trovare i due valori di temperatura uso l'equazione generale dei gas e la relazione $PV^y$ per trovare la pressione finale (con y=5/3R per i gas monoatomici). Però non risulta
Dovrebbe risultare +1341J.
Chiarimento, forse è qua che sbaglio a fare i calcoli: se io lascio pressioni in Pascal, volumi in metri cubi, temperature in kelvin e uso R in $J/(Kmol)$ che è circa 8.31...il risultato del lavoro mi dovrebbe venire direttamente in joule giusto?
Integrando $PdV$, sapendo che $PV^y=cost$, ottengo:
$ int_(i)^(f) PdV =int_(i)^(f) cost/v^y dV=costint_(i)^(f) 1/v^y=P_iV_i^y(V_f^(1-y)/(1-y)-V_i^(1-y)/(1-y)) $
credo che questo sia equivalente al tuo che hai cercato di mettere in una forma migliore...però, al tuo terzo passaggio, il denominatore non dovrebbe essere 1-y come l'esponente?
@Paolo90
Allora anche se è un'adiabatica la temperatura varia? Per trovare i due valori di temperatura uso l'equazione generale dei gas e la relazione $PV^y$ per trovare la pressione finale (con y=5/3R per i gas monoatomici). Però non risulta
Dovrebbe risultare +1341J.
Chiarimento, forse è qua che sbaglio a fare i calcoli: se io lascio pressioni in Pascal, volumi in metri cubi, temperature in kelvin e uso R in $J/(Kmol)$ che è circa 8.31...il risultato del lavoro mi dovrebbe venire direttamente in joule giusto?
"ghiozzo":
@Paolo90
Allora anche se è un'adiabatica la temperatura varia?
Certamente, in un'adiabatica la temperatura varia eccome. Adiabatica significa solo "senza scambio di calore", cioè $DeltaQ=0$.
Se sei pratico con il piano di Clapeyron (l'usuale piano $p-V$) puoi vedere facilmente questo fatto: il grafico di un'adiabatica è appunto del tipo $PV^gamma="costante"$ e, essendo $gamma>1$, hai che la pendenza dell'adiabatica è maggiore delle iperboli delle isoterme. Quindi l'adiabatica "attraversa" le isoterme: spero di aver reso il concetto, se ti fai uno schizzo su un foglio dovresti vedere tutto.
Per trovare i due valori di temperatura uso l'equazione generale dei gas e la relazione $PV^y$ per trovare la pressione finale (con y=5/3R per i gas monoatomici). Però non risulta
Dovrebbe risultare +1341J.
Chiarimento, forse è qua che sbaglio a fare i calcoli: se io lascio pressioni in Pascal, volumi in metri cubi, temperature in kelvin e uso R in $J/(Kmol)$ che è circa 8.31...il risultato del lavoro mi dovrebbe venire direttamente in joule giusto?
Sì, il lavoro dovrebbe venirti direttamente in joule se usi i Pascal, i kelvin e il valore $R=8,314 J K^-1*mol^-1$
Prova un po' a postare due conti, se ho tempo gli do uno sguardo volentieri.
Allora:
$ P_iV_i=nRT_i $ quindi $T_i=(P_iV_i)/(nR)=110000Pa*0.05m^3/(2mol*8.314J/(Kmol)) =330,77 K$
Approssimo $y=3/5R=5/3*8.314=13,86$
$ P_iV_i^y=P_f V_f^y $ quindi $P_f=(P_iV_i^y)/V_f^y=(110000Pa*(0.05m^3)^13.86)/(0.04m^3)^13.86=2424183.36Pa$
quindi $T_f=(P_fV_f)/(nR)=(2424183.36Pa*0.04m^3)/(2*8.134)=5960.62K$
e poi, applicando la formula che mi hai detto tu non risulta, viene un numero altissimo.
Ma mi è venuto in mente...la formula $ W=-nC_vT$, $C_v$ non è il calore molare a volume costante?? In questo caso il volume non si conserva. In un'adiabatica il calore specifico molare non è 0?
E l'altro metodo? Forse mi sembrava più corretto ma nell'integrale c'era qualcosa che non mi tornava.
$ P_iV_i=nRT_i $ quindi $T_i=(P_iV_i)/(nR)=110000Pa*0.05m^3/(2mol*8.314J/(Kmol)) =330,77 K$
Approssimo $y=3/5R=5/3*8.314=13,86$
$ P_iV_i^y=P_f V_f^y $ quindi $P_f=(P_iV_i^y)/V_f^y=(110000Pa*(0.05m^3)^13.86)/(0.04m^3)^13.86=2424183.36Pa$
quindi $T_f=(P_fV_f)/(nR)=(2424183.36Pa*0.04m^3)/(2*8.134)=5960.62K$
e poi, applicando la formula che mi hai detto tu non risulta, viene un numero altissimo.
Ma mi è venuto in mente...la formula $ W=-nC_vT$, $C_v$ non è il calore molare a volume costante?? In questo caso il volume non si conserva. In un'adiabatica il calore specifico molare non è 0?
E l'altro metodo? Forse mi sembrava più corretto ma nell'integrale c'era qualcosa che non mi tornava.
Ma aspetta un attimo, $gamma=5/3$, non $5/3R$...
La $T_f$ dovrebbe risultare circa $383,8 "K"$ e poi, con la formula della variazione di energia interna, dovrebbe tornarti il risultato (a meno di un segno: evidentemente è l'ambiente a compiere lavoro sul sistema, quindi il lavoro è negativo).
P.S.
Ti consiglio di guardarti la teoria, soprattutto il primo principio. E' una conseguenza immediata di quello.
La $T_f$ dovrebbe risultare circa $383,8 "K"$ e poi, con la formula della variazione di energia interna, dovrebbe tornarti il risultato (a meno di un segno: evidentemente è l'ambiente a compiere lavoro sul sistema, quindi il lavoro è negativo).
P.S.
"ghiozzo":
Ma mi è venuto in mente...la formula $ W=-nC_vT$, $C_v$ non è il calore molare a volume costante?? In questo caso il volume non si conserva. In un'adiabatica il calore specifico molare non è 0?
Ti consiglio di guardarti la teoria, soprattutto il primo principio. E' una conseguenza immediata di quello.
Grazie! Ti giuro che nei miei appunti avevo scritto che $y=5/3R$! Per fortuna che adesso lo so, che poi alla fine è banalmente ovvio che sia così...bastava pensarci un attimo e c'arrivavi che non poteva esserci la R!
ma quindi, ti chiedo un'ultima cosa: il calore specifico molare a volume costante in questa formula si usa indipendentemente dal fatto che nella trasformazione il volume si conservi o meno?
UPDATE: ok! Ho capito ora
Mi hanno aiutato più i libri di 4a superiore che gli appunti dell'università!! 
pensa te...
grazie mille comunque per tutto!!
ma quindi, ti chiedo un'ultima cosa: il calore specifico molare a volume costante in questa formula si usa indipendentemente dal fatto che nella trasformazione il volume si conservi o meno?
UPDATE: ok! Ho capito ora
Mi hanno aiutato più i libri di 4a superiore che gli appunti dell'università!! pensa te...grazie mille comunque per tutto!!
Prego, figurati.
Quanto alla tua questione, io la vedo così: è vero che in un'adiabatica come la tua il volume non resta costante, quindi a rigor di logica dovresti calcolarti il lavoro come l'integrale della pressione in $dV$.
Tuttavia, il primo principio della termodinamica stabilisce che vale sempre $DeltaU=Q-W$.
Nel nostro caso, $Q=0$ (è adiabatica!) quindi $W=-DeltaU$.
Allora adesso si pone il problema di determinare l'espressione di $DeltaU$ che, come saprai, è una funzione di stato, cioè non dipende dal percorso seguito nella trasformazione, ma solo dallo stato iniziale e da quello finale. Chiaro il problema?
Allora guarda, si fa così: prendi due stati termodinamici, $A$ e $B$. Tu vuoi valutare la differenza di energia interna $U_B-U_A$.
Sul piano pV prendi un punto $C$ qualsiasi (possibilmente che abbia lo stesso volume di A, cioè che sia - parlando in maniera un po' becera - allineato verticalmente con esso e alla stessa temperatura di B: in soldoni, per andare da A a B usi prima un'isocora AC e poi un'isoterma CB).
Sarai d'accordo con me che $U_B-U_A=(U_B-U_C)-(U_A-U_C)$. Ok? Ma, e qui viene il bello, un noto esperimento (l'espansione libera di Joule) stabilì che $U$ dipendeva unicamente da $T$ e non dagli altri parametri di stato: morale, $U_B-U_C=0$ perchè giacciono su un'isoterma (l'abbiamo scelto apposta!). In definitiva, abbiamo che $U_B-U_A=U_C-U_A$.
Ma in A e in C abbiamo lo stesso volume, dunque - siamo in un'isocora - $W = 0$. E allora $U_B-U_A=U_C-U_A=Q$ per il primo principio ancora e in definitiva $DeltaU = nC_VDeltaT$. E questa è proprio l'espressione di $DeltaU$ che stavamo cercando, valida per ogni due stati termodinamici.
Tutto chiaro?
P.S: Scusa, mi ero perso il tuo update.
Quanto alla tua questione, io la vedo così: è vero che in un'adiabatica come la tua il volume non resta costante, quindi a rigor di logica dovresti calcolarti il lavoro come l'integrale della pressione in $dV$.
Tuttavia, il primo principio della termodinamica stabilisce che vale sempre $DeltaU=Q-W$.
Nel nostro caso, $Q=0$ (è adiabatica!) quindi $W=-DeltaU$.
Allora adesso si pone il problema di determinare l'espressione di $DeltaU$ che, come saprai, è una funzione di stato, cioè non dipende dal percorso seguito nella trasformazione, ma solo dallo stato iniziale e da quello finale. Chiaro il problema?
Allora guarda, si fa così: prendi due stati termodinamici, $A$ e $B$. Tu vuoi valutare la differenza di energia interna $U_B-U_A$.
Sul piano pV prendi un punto $C$ qualsiasi (possibilmente che abbia lo stesso volume di A, cioè che sia - parlando in maniera un po' becera - allineato verticalmente con esso e alla stessa temperatura di B: in soldoni, per andare da A a B usi prima un'isocora AC e poi un'isoterma CB).
Sarai d'accordo con me che $U_B-U_A=(U_B-U_C)-(U_A-U_C)$. Ok? Ma, e qui viene il bello, un noto esperimento (l'espansione libera di Joule) stabilì che $U$ dipendeva unicamente da $T$ e non dagli altri parametri di stato: morale, $U_B-U_C=0$ perchè giacciono su un'isoterma (l'abbiamo scelto apposta!). In definitiva, abbiamo che $U_B-U_A=U_C-U_A$.
Ma in A e in C abbiamo lo stesso volume, dunque - siamo in un'isocora - $W = 0$. E allora $U_B-U_A=U_C-U_A=Q$ per il primo principio ancora e in definitiva $DeltaU = nC_VDeltaT$. E questa è proprio l'espressione di $DeltaU$ che stavamo cercando, valida per ogni due stati termodinamici.
Tutto chiaro?
P.S: Scusa, mi ero perso il tuo update.
@ghiozzo, si hai ragone scusa (ho modificato il post originale), in ogni caso nel risultato finale è giusto perchè ho cambiato di segno i termini dentro la parentesi!
durante una adiabatica il volume aumenta, in generale. e questo integrale è diretta conseguenza della definizione di lavoro.
durante una adiabatica il volume aumenta, in generale. e questo integrale è diretta conseguenza della definizione di lavoro.
Scusate la mia intromissione, ho seguito tutta la discussione su questo problema.
il problema non dice quale $C_v$ dei gas ideali monoatomici è quello da usare.
tuttavia $C_v$ è diverso tra $He$ $Ne$ e $Kr$
quale bisognerebbe usare?
quello con $Cv$ più basso o più alto?
scusate la mia domanda banale.
il problema non dice quale $C_v$ dei gas ideali monoatomici è quello da usare.
tuttavia $C_v$ è diverso tra $He$ $Ne$ e $Kr$
quale bisognerebbe usare?
quello con $Cv$ più basso o più alto?
scusate la mia domanda banale.
"clever":
il problema non dice quale $C_v$ dei gas ideali monoatomici è quello da usare.
tuttavia $C_v$ è diverso tra $He$ $Ne$ e $Kr$
No, clever. $C_v$, il calore specifico molare a volume costante, per (tutti i) gas monoatomici perfetti è uguale a $3/2R$. Sicuramente puoi trovare una tabella sul tuo libro che riporta i valori di $C_v$ e $C_p$ per gas perfetti e verificare quanto ti ho detto.
Ok adesso?
Sì, ho trovato questo sul libro:
Calori specifici molari dei gas monoatomici perfetti:
He,Ar: $C_v=12,5$
Ne: $C_v=12,7$
Kr: $C_v=12,3$
io dicevo, quale di questi tre bisogna mettere nella formula finale affinchè venga come risultato:
$1341 J$?
variano di poco tra loro, ma è importante per le cifre significative, o sbaglio? :S
Calori specifici molari dei gas monoatomici perfetti:
He,Ar: $C_v=12,5$
Ne: $C_v=12,7$
Kr: $C_v=12,3$
io dicevo, quale di questi tre bisogna mettere nella formula finale affinchè venga come risultato:
$1341 J$?
variano di poco tra loro, ma è importante per le cifre significative, o sbaglio? :S
Da quello che ho capito...io credo che valga sempre $C_v=3/2R$. E' un'approssimazione sì, ma è accettata. E' un risultato teorico, le misure sperimentali possono variare ma di poco, come vedi. Non so i vostri libri, ma l'approssimazione di lavoro ed energia, il mio libro la dà sempre all'unità, tralascia sempre i decimali il che forse è segno che in questi ambiti è consentito approssimare in maniera così, relativamente, grossolana.
$C_v=3R/2=2,979*10^(-3)$
mentre per la formula finale per avere quel valore del libro di ghiozzo c'è bisogno di un $12,6$
mentre per la formula finale per avere quel valore del libro di ghiozzo c'è bisogno di un $12,6$
Dipende da che unità di misura sta usando ovviamente. Se sei in $Pa,m^3,K$ R che è circa $8,314J/(Kmol)$
Se sei in $atm,l,K$ invece R è circa $0.082(atml)/(Kmol)$ ecc.
Devi scegliere la "R appropriata" in base alle unità di misura che stai utilizzando
Ad esempio, i valori di $"C_v"$ che hai citato prima credo che si riferiscano quando R sia 8,314
Se sei in $atm,l,K$ invece R è circa $0.082(atml)/(Kmol)$ ecc.
Devi scegliere la "R appropriata" in base alle unità di misura che stai utilizzando
Ad esempio, i valori di $"C_v"$ che hai citato prima credo che si riferiscano quando R sia 8,314
Ecco. Questione risolta.
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