Teoria dei Gruppi e Regole di selezione

[LastStarDust]

Salve,
mi sono iscritto su questo forum perché è un po' che cerco un "posto tranquillo" dove postare ogni tanto qualche piccolo dubbio che mi sorge nello studio della fisica riguardo questioni matematiche "più grandi di me".
Per completezza vi informo che frequento il I anno di specialistica di Fisica e sto studiando Teoria dei Gruppi applicata a problemi di Materia Condensata. Ho deciso di leggere a riguardo il capitolo XII del Landau-Lifsits di Meccanica Quantistica (non relativistica).

La mia domanda riguarda un passaggio del capitolo che non mi è chiaro. Lo riporto e poi passo a indicare cosa non capisco:

Paragrafo §97

[...]
Gli elementi di matrice di una grandezza fisica $ f $ sono dati dagli integrali
$ \langle \beta_k| f |\alpha_i\rangle = \int \psi_k^{(\beta)} tilde(f) \psi_i^{(\alpha)} dq $
dove gli indici $\alpha,\beta$ distinguono i diversi livelli energetici del sistema, e gli indici $i,k$ numerano le funzioni d'onda relative ad uno stesso livello degenere. Indichiamo con i simboli $D^{()\alpha}$ e $D^{(\beta)}$ le rappresentazioni irriducibili del gruppo di simmetria del sistema fisico dato, realizzate rispettivamente dalle funzioni $\psi_i^{(\alpha)}$ e $\psi_k^{(\beta)}$. Con il simbolo $D_f$ indichiamo invece una rappresentazione corrispondente alla simmetria della grandezza $f$; questa rappresentazione dipende dal carattere tensoriale di $f$.
[...]
I prodotti $\psi_k^{(\beta)} tilde(f) \psi_i^{(\alpha)}$ realizzano la rappresentazione del gruppo espressa dal prodotto diretto $D^{()\beta} \times D_f \times D^{(\alpha)}$. Gli elementi di matrice sono diversi da zero se questa rappresentazione contiene la rappresentazione unità o, ciò che è lo stesso, se il prodotto diretto $D^{()\beta} \times D^{(\alpha)}$ contiene $D_f$

Quel che non capisco è perché gli elementi di matrice dovrebbero essere nulli solo se la rappresentazione prodotto contiene la rappresentazione unità. (Il passaggio successivo mi è chiaro invece)

[yoshiharu]

"LastStarDust":

I prodotti $\psi_k^{(\beta)} tilde(f) \psi_i^{(\alpha)}$ realizzano la rappresentazione del gruppo espressa dal prodotto diretto $D^{()\beta} \times D_f \times D^{(\alpha)}$. Gli elementi di matrice sono diversi da zero se questa rappresentazione contiene la rappresentazione unità o, ciò che è lo stesso, se il prodotto diretto $D^{()\beta} \times D^{(\alpha)}$ contiene $D_f$

Quel che non capisco è perché gli elementi di matrice dovrebbero essere non nulli solo se la rappresentazione prodotto contiene la rappresentazione unità.

Il motivo dovrebbe essere l'equazione 97.1 (dimostrato nel testo appena sotto), l'integrale che definisce l'elemento di matrice si annulla se la rappresentazione non e' l'unita', che e' un sottocaso delle relazioni di ortogonalita' delle rappresentazioni irriducibili.

[LastStarDust]

Giusto l'ho notato solo ora, ero andato a cercare la soluzione da tutt'altra parte quando ce l'avevo sotto gli occhi ... ti ringrazio.
Buon forum