Teoremi di Koenig per corpo rigido
I teoremi di Koenig ci dicono che, dato un punto O, possiamo scrivere il momento angolare calcolato rispetto a quel punto come:
$P_O = r_{CM}$ $\times$ $Mv_{CM} + P'_{CM}$
Nel caso di corpo rigido:
$P'_{CM} = I \omega$, come si spiega questo parallelismo?
E anche nel caso dell'energia cinetica, il secondo teorema di Koenig ci dice che:
$K = K' + \frac{1}{2} M v_{CM}^2 $
Dove, in caso di corpo rigido:
$K' = \frac{1}{2} I \omega^2 $
Come si spiega ciò?
$P_O = r_{CM}$ $\times$ $Mv_{CM} + P'_{CM}$
Nel caso di corpo rigido:
$P'_{CM} = I \omega$, come si spiega questo parallelismo?
E anche nel caso dell'energia cinetica, il secondo teorema di Koenig ci dice che:
$K = K' + \frac{1}{2} M v_{CM}^2 $
Dove, in caso di corpo rigido:
$K' = \frac{1}{2} I \omega^2 $
Come si spiega ciò?
Risposte
Scusate mi sono un attimo perso nelle vostre litigate...
Per prima cosa quello che dice Lucacs non mi sembra proprio esatto, in realtà i teoremi di Koenig non dicono esattamente quello, ciò che dice il sopracitato vale solo per corpi rigidi. Poi io più che altro volevo una spiegazione intuitiva, i calcoli su come si arriva al risultato li conosco già. Cioè, se $K'$ e $P'_{CM}$ rappresentano rispettivamente l'energia cinetica e il momento angolare del centro di massa nel sistema di riferimento del centro di massa, come si passa alla parte rotazionale? Si sta forse dicendo che il corpo rigido stesso ruota rispetto al centro di massa?
Per prima cosa quello che dice Lucacs non mi sembra proprio esatto, in realtà i teoremi di Koenig non dicono esattamente quello, ciò che dice il sopracitato vale solo per corpi rigidi. Poi io più che altro volevo una spiegazione intuitiva, i calcoli su come si arriva al risultato li conosco già. Cioè, se $K'$ e $P'_{CM}$ rappresentano rispettivamente l'energia cinetica e il momento angolare del centro di massa nel sistema di riferimento del centro di massa, come si passa alla parte rotazionale? Si sta forse dicendo che il corpo rigido stesso ruota rispetto al centro di massa?
@Nexus99
Potresti spiegare ancora una volta quale sia il tuo dubbio?
Non ho capito a quale parallelismo ti riferisci.
Il momento angolare osservato dal centro di massa rispetto ad un asse passante per il centro di massa è pari a $I omega$ con $I$ momento di inerzia rispetto all'asse e $omega$ velocità angolare di rotazione attorno all'asse (in generale è il prodotto tra la matrice di inerzia rispetto a una terna solidale al corpo rigido e il vettore velocità angolare).
Potresti spiegare ancora una volta quale sia il tuo dubbio?
"Nexus99":
I teoremi di Koenig ci dicono che, dato un punto O, possiamo scrivere il momento angolare calcolato rispetto a quel punto come:
$P_O = r_{CM}$ $\times$ $Mv_{CM} + P'_{CM}$
Nel caso di corpo rigido:
$P'_{CM} = I \omega$, come si spiega questo parallelismo?
Non ho capito a quale parallelismo ti riferisci.
Il momento angolare osservato dal centro di massa rispetto ad un asse passante per il centro di massa è pari a $I omega$ con $I$ momento di inerzia rispetto all'asse e $omega$ velocità angolare di rotazione attorno all'asse (in generale è il prodotto tra la matrice di inerzia rispetto a una terna solidale al corpo rigido e il vettore velocità angolare).
"Faussone":
Non ho capito a quale parallelismo ti riferisci.
Il momento angolare osservato dal centro di massa rispetto ad un asse passante per il centro di massa è pari a $I omega$ con $I$ momento di inerzia rispetto all'asse e $omega$ velocità angolare di rotazione attorno all'asse (in generale è il prodotto tra la matrice di inerzia rispetto a una terna solidale al corpo rigido e il vettore velocità angolare).
Mi spiego bene:
Ad esempio, prendiamo in considerazione il primo teorema di Koenig:
$\vec{P'_{CM}}$ rappresenta il momento angolare calcolato per un polo che è il centro di massa, rispetto al sistema di riferimento del centro di massa.
Ora, per corpi rigidi tale grandezza è rappresentata da $I \omega$, questo succede perchè, a differenza di un sistema di punti, stiamo considerando che il corpo rigido ruota rispetto al sistema di riferimento del centro di massa? Discorso simile si può fare per il secondo teorema (dell'energia cinetica)
"Nexus99":
... per corpi rigidi tale grandezza è rappresentata da $I \omega$, questo succede perché, a differenza di un sistema di punti, stiamo considerando che il corpo rigido ruota rispetto al sistema di riferimento del centro di massa?
Premesso che la questione è piuttosto sottile ed è necessario fare mente locale, la possibilità di esprimere il momento angolare rispetto al centro di massa $L_G$ come $I_G\omega$ è dovuta a due motivi distinti:
1. Il sistema materiale è rigido.
2. Se il centro di massa è in quiete in un sistema di riferimento relativo, il momento angolare rispetto al centro di massa calcolato con le velocità assolute è uguale al momento angolare rispetto al centro di massa calcolato con le velocità relative (vale anche per un sistema non rigido).
Proprio per il secondo motivo, anche se il sistema non ruota intorno a un punto fisso coincidente con il centro di massa, il calcolo del momento angolare rispetto al centro di massa (per definizione con le velocità assolute) può essere condotto come se il sistema ruotasse intorno a un punto fisso coincidente con il centro di massa (per il secondo motivo con le velocità relative).
"Nexus99":
Mi spiego bene:
Ad esempio, prendiamo in considerazione il primo teorema di Koenig:
$\vec{P'_{CM}}$ rappresenta il momento angolare calcolato per un polo che è il centro di massa, rispetto al sistema di riferimento del centro di massa.
Ora, per corpi rigidi tale grandezza è rappresentata da $I \omega$, questo succede perchè, a differenza di un sistema di punti, stiamo considerando che il corpo rigido ruota rispetto al sistema di riferimento del centro di massa? Discorso simile si può fare per il secondo teorema (dell'energia cinetica)
Se capisco bene il tuo dubbio, la risposta la trovi già su wikipedia nella voce primo teorema di Koenig, nel paragrafo sull'applicazione al corpo rigido.
Questa voce (come quasi tutta wikipedia con alcune eccezioni) è fatta molto bene secondo me (questa parte sembra venire da Mazzoldi Nigro tra l'altro)..
@Faussone @anonymous_0b37e9 Grazie ad entrambi delle risposte. Quindi in conclusione si potrebbe dire che, per un corpo rigido, il momento angolare del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento con origine nel centro di massa è rappresentato dal momento angolare parallelo ad un asse di rotazione passante per il centro di massa?
Potremmo dire una cosa simile per il secondo teorema di Koenig riguardante l'energia cinetica?
Potremmo dire una cosa simile per il secondo teorema di Koenig riguardante l'energia cinetica?
Mi limito a fare almeno tre osservazioni:
1. Il momento d'inerzia è un contenuto della geometria delle masse. Ergo, se possibile, mi sembra cosa buona e giusta argomentare senza scomodare la dinamica. Ebbene, in quell'esercizio era senz'altro possibile.
2. A rigore, la definizione di pendolo fisico:
richiede che l'asse di rotazione sia orizzontale. Ergo, poiché in quell'esercizio era richiesto il momento d'inerzia rispetto a un asse verticale, un eventuale collegamento alla dinamica avrebbe richiesto un asse di rotazione verticale. Ebbene, un tale collegamento non può essere il pendolo fisico.
3. Tra gli "addetti ai lavori" è possibile comprendersi senza essere troppo rigorosi. Ebbene, tipicamente, chi pone le domande non è ancora un "addetto ai lavori".
@ Five
Non credo sia necessario aggiungere altro.
@ Lucacs
Mi dispiace ma, la vedo sempre più come Faussone.
1. Il momento d'inerzia è un contenuto della geometria delle masse. Ergo, se possibile, mi sembra cosa buona e giusta argomentare senza scomodare la dinamica. Ebbene, in quell'esercizio era senz'altro possibile.
2. A rigore, la definizione di pendolo fisico:
richiede che l'asse di rotazione sia orizzontale. Ergo, poiché in quell'esercizio era richiesto il momento d'inerzia rispetto a un asse verticale, un eventuale collegamento alla dinamica avrebbe richiesto un asse di rotazione verticale. Ebbene, un tale collegamento non può essere il pendolo fisico.
3. Tra gli "addetti ai lavori" è possibile comprendersi senza essere troppo rigorosi. Ebbene, tipicamente, chi pone le domande non è ancora un "addetto ai lavori".
@ Five
Non credo sia necessario aggiungere altro.
@ Lucacs
Mi dispiace ma, la vedo sempre più come Faussone.
"Nexus99":
@Faussone @anonymous_0b37e9 Grazie ad entrambi delle risposte. Quindi in conclusione si potrebbe dire che, per un corpo rigido, il momento angolare del centro di massa rispetto ad un sistema di riferimento con origine nel centro di massa è rappresentato dal momento angolare parallelo ad un asse di rotazione passante per il centro di massa?
Si può dire che il momento angolare del corpo visto dal centro di massa rispetto al centro di massa per un corpo rigido è pari al momento angolare calcolato rispetto all'asse di rotazione che passa per il centro di massa.
Scusate ma, che fine hanno fatto tutti gli altri messaggi? Insomma, due pagine di messaggi si sono letteralmente volatilizzate. Questa proprio non l'ho capita. 
I moderatori avranno deciso che era meglio ripulire il thread dagli OT piuttosto che chiuderlo ...
Ciao axpgn e grazie della risposta. Devo ammettere di esserci rimasto un po' male. Anche perché non tutti i messaggi cancellati erano del tutto OT. Tra l'altro, nel penultimo mi ero impegnato a fondo.
Scusa nexus per la discussione
Comunque se le cose le sapevi era meglio dirlo nel post, evitavo di postare le equazioni
Dalle domande si vede che non hai digerito bene l'argomento
Comunque se le cose le sapevi era meglio dirlo nel post, evitavo di postare le equazioni
Dalle domande si vede che non hai digerito bene l'argomento
Umm più che non digerito direi che mi mancavano dei collegamenti, ora credo di aver capito, grazie a tutti.
"anonymous_0b37e9":
Ciao axpgn e grazie della risposta. Devo ammettere di esserci rimasto un po' male. Anche perché non tutti i messaggi cancellati erano del tutto OT. Tra l'altro, nel penultimo mi ero impegnato a fondo.
Avevo letto anche io la discussione e mi è spiaciuto. Magari sono recuperabili? Spero qualche admin passi a sistemare.
D'accordo su "mali estremi estremi rimedi" e "il fine giustifica i mezzi". Tuttavia, mi è sembrato piuttosto brutale. Anche perché il confronto, a mio parere non del tutto sterile, riguardava ormai 4 persone (Five, Faussone, Lucacs e il sottoscritto) e non sarebbe stato praticabile continuarlo utilizzando i messaggi privati. Insomma, continuo a rimanere un po' perplesso.
"anonymous_0b37e9":
Scusate ma, che fine hanno fatto tutti gli altri messaggi? Insomma, due pagine di messaggi si sono letteralmente volatilizzate. Questa proprio non l'ho capita.
[xdom="gugo82"]Ho semplicemente rimosso tutta la discussione OT che aveva confuso Nexus99 (cfr. [regolamento]reg[/regolamento], 4.6).
Ringrazio Faussone e @anonymous_0b37e9 per la pacatezza con cui hanno risposto alle intemperanze degli altri due utenti intervenuti.
Ricordo a tutti che:
[list=1][*:b4w6obiy] che qualsiasi utente può segnalare ai moderatori post poco consoni od utenti aventi comportamenti scorretti usando l'apposito bottone (anche senza rispondere a provocazioni);
[/*:m:b4w6obiy]
[*:b4w6obiy] che domande, lagnanze e critiche circa la moderazione del forum vanno indirizzate in PM ai moderatori della stanza o globali (o, in ultima istanza, agli amministratori);
[/*:m:b4w6obiy]
[*:b4w6obiy] che l'operato dei moderatori -che si è sempre dimostrato corretto ed adeguato alle situazioni occorse- è insindacabile ([regolamento]reg[/regolamento], 4.3).[/*:m:b4w6obiy][/list:o:b4w6obiy][/xdom]
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