Teorema Forze Vive - forza di attrito viscoso
Ciao a tutti,
Ho un dubbio su un esercizio di Principi di Meccanica (Fisica 1).
Il mio dubbio riguarda l'ultima parte dell'esercizio, ovvero il dover trovare il lavoro fatto dalla forza di attrito viscoso.
il mio ragionamento è stato questo:
Dal momento che il teorema delle forze vice ci dice che
energia cinetica finale - energia cinetica iniziale = lavoro di tutte le forze
ho posto:
-energia cinetica finale = 0 (in quanto la freccia si arresta nel terreno)
-energia cinetica iniziale =0 (in quanto parte da ferma)
-lavoro della forza peso = m*g*altezza massima raggiunta dalla freccia nel moto parabolico
-lavoro della forza di attrito = incognita
l'equazione diventa dunque:
m*g*altezza max = lavoro della forza di attrito
e pensavo che andasse bene.
tuttavia il professore ottiene un risultato diverso utilizzando il teorema delle forze vive e considerando l'energia cinetica finale non uguale a zero ma uguale alla velocità nel momento in cui la freccia si pianta nel terreno (dato che conosce attraverso i calcoli l'istante $t$ in cui la freccia si conficca nel terreno, e dato che conosce la componente lungo $x$ della velocità in tale istante, si ricava l'equazione della velocità lungo $y$ e calcola la componente della velocità lungo $y$ in tale istante)
Sapreste dirmi
1) cosa c'è di sbagliato nel considerare l'energia cinetica finale uguale a zero?
2) come mai i due risultati (quello ottenuto utilizzando il mio ragionamento e quello ottenuto dal prof) non combaciano?
3) come mai il mio ragionamento non torna? trovate qualche falla in esso?
Ho un dubbio su un esercizio di Principi di Meccanica (Fisica 1).
Il mio dubbio riguarda l'ultima parte dell'esercizio, ovvero il dover trovare il lavoro fatto dalla forza di attrito viscoso.
il mio ragionamento è stato questo:
Dal momento che il teorema delle forze vice ci dice che
energia cinetica finale - energia cinetica iniziale = lavoro di tutte le forze
ho posto:
-energia cinetica finale = 0 (in quanto la freccia si arresta nel terreno)
-energia cinetica iniziale =0 (in quanto parte da ferma)
-lavoro della forza peso = m*g*altezza massima raggiunta dalla freccia nel moto parabolico
-lavoro della forza di attrito = incognita
l'equazione diventa dunque:
m*g*altezza max = lavoro della forza di attrito
e pensavo che andasse bene.
tuttavia il professore ottiene un risultato diverso utilizzando il teorema delle forze vive e considerando l'energia cinetica finale non uguale a zero ma uguale alla velocità nel momento in cui la freccia si pianta nel terreno (dato che conosce attraverso i calcoli l'istante $t$ in cui la freccia si conficca nel terreno, e dato che conosce la componente lungo $x$ della velocità in tale istante, si ricava l'equazione della velocità lungo $y$ e calcola la componente della velocità lungo $y$ in tale istante)
Sapreste dirmi
1) cosa c'è di sbagliato nel considerare l'energia cinetica finale uguale a zero?
2) come mai i due risultati (quello ottenuto utilizzando il mio ragionamento e quello ottenuto dal prof) non combaciano?
3) come mai il mio ragionamento non torna? trovate qualche falla in esso?
Risposte
1) dipende di quello che uno chiama "finale" (e, a questo punto, anche "iniziale"). La cronologia completa del problema sarebbe:
- $t_a$, un istante infinitesimale prima della partenza della freccia, con essa ferma
- $t_b$, un istante infinitesimale dopo la partenza in cui la velocità della freccia si può assumere uguale a $v_0$
- $t_c$, l'istante preciso in cui la freccia tocca il suolo e la sua velocità orizzontale è $v_0/4$
- $t_d$, l'istante in cui la freccia si ferma del tutto, piantata ad una certa profondità nel terreno, dopo l'attrito violento con questo.
Siccome la freccia si muove secondo una legge ben chiara ed integrabile fra $t_b$ e $t_c$, nella risoluzione del problema è altamente consigliabile (per non dire obbligatorio) prendere $t_b$ come istante iniziale e $t_c$ come istante finale. La descrizione di cosa fa la freccia fra $t_a$ e $t_b$ e poi fra $t_c$ e $t_d$ è tecnicamente fuori portata visto i dati del problema, ma in ogni caso rimane di scarso interesse qui perché gli intervalli menzionati sono molto piccoli; quindi non serve a nulla considerare l'inizio a $t_a$ e la fine a $t_d$ come sembra esser proposto nella "risoluzione" di qui sopra.
In tal caso, l'energia finale (al momento $t_c$) è palesemente diversa da 0.
2) questa non è una domanda seria dopo le considerazioni di sopra: se si parte dalle premesse sbagliate (energia cinetica "iniziale" = energia cinetica "finale" = 0), le conclusioni saranno necessariamente sbagliate.
3) a parte l'incongruenza ovvia degli stati "iniziale" e "finale" con quello che dovrebbero essere, l'altezza massima raggiunta proprio non c'entra nel discorso.
Con i dati del problema, si può determinare in maniera lineare il movimento della freccia come equazioni secondo gli assi $x$ e $y$. Visto che viene offerta un'informazione supplementare (circa la velocità in orizzontale finale), risulta che il punto di partenza e quello di arrivo non si trovano necessariamente ad una stessa altezza (nel caso contrario, la velocità finale sarebbe perfettamente deducibile dai dati iniziali). Scrivendo le equazioni del moto lungo $x$ e $y$ separatamente, si può calcolare il tempo di volo della freccia (dalla velocità finale in orizzontale), poi l'altezza finale raggiunta rispetto al punto di partenza e la velocità in verticale al momento $t_c$, si fa la differenza di energia cinetica ed energia potenziale in campo gravitazionale fra le due situazioni, e la somma delle differenze rappresenta la quantità dissipata con l'attrito con l'aria (cioè uguale al suo lavoro). Come ha fatto il prof.
- $t_a$, un istante infinitesimale prima della partenza della freccia, con essa ferma
- $t_b$, un istante infinitesimale dopo la partenza in cui la velocità della freccia si può assumere uguale a $v_0$
- $t_c$, l'istante preciso in cui la freccia tocca il suolo e la sua velocità orizzontale è $v_0/4$
- $t_d$, l'istante in cui la freccia si ferma del tutto, piantata ad una certa profondità nel terreno, dopo l'attrito violento con questo.
Siccome la freccia si muove secondo una legge ben chiara ed integrabile fra $t_b$ e $t_c$, nella risoluzione del problema è altamente consigliabile (per non dire obbligatorio) prendere $t_b$ come istante iniziale e $t_c$ come istante finale. La descrizione di cosa fa la freccia fra $t_a$ e $t_b$ e poi fra $t_c$ e $t_d$ è tecnicamente fuori portata visto i dati del problema, ma in ogni caso rimane di scarso interesse qui perché gli intervalli menzionati sono molto piccoli; quindi non serve a nulla considerare l'inizio a $t_a$ e la fine a $t_d$ come sembra esser proposto nella "risoluzione" di qui sopra.
In tal caso, l'energia finale (al momento $t_c$) è palesemente diversa da 0.
2) questa non è una domanda seria dopo le considerazioni di sopra: se si parte dalle premesse sbagliate (energia cinetica "iniziale" = energia cinetica "finale" = 0), le conclusioni saranno necessariamente sbagliate.
3) a parte l'incongruenza ovvia degli stati "iniziale" e "finale" con quello che dovrebbero essere, l'altezza massima raggiunta proprio non c'entra nel discorso.
Con i dati del problema, si può determinare in maniera lineare il movimento della freccia come equazioni secondo gli assi $x$ e $y$. Visto che viene offerta un'informazione supplementare (circa la velocità in orizzontale finale), risulta che il punto di partenza e quello di arrivo non si trovano necessariamente ad una stessa altezza (nel caso contrario, la velocità finale sarebbe perfettamente deducibile dai dati iniziali). Scrivendo le equazioni del moto lungo $x$ e $y$ separatamente, si può calcolare il tempo di volo della freccia (dalla velocità finale in orizzontale), poi l'altezza finale raggiunta rispetto al punto di partenza e la velocità in verticale al momento $t_c$, si fa la differenza di energia cinetica ed energia potenziale in campo gravitazionale fra le due situazioni, e la somma delle differenze rappresenta la quantità dissipata con l'attrito con l'aria (cioè uguale al suo lavoro). Come ha fatto il prof.
"mmdem":
..
3) a parte l'incongruenza ovvia degli stati "iniziale" e "finale" con quello che dovrebbero essere, l'altezza massima raggiunta proprio non c'entra nel discorso.
Con i dati del problema, si può determinare in maniera lineare il movimento della freccia come equazioni secondo gli assi $x$ e $y$. Visto che viene offerta un'informazione supplementare (circa la velocità in orizzontale finale), risulta che il punto di partenza e quello di arrivo non si trovano necessariamente ad una stessa altezza (nel caso contrario, la velocità finale sarebbe perfettamente deducibile dai dati iniziali). Scrivendo le equazioni del moto lungo $x$ e $y$ separatamente, si può calcolare il tempo di volo della freccia (dalla velocità finale in orizzontale), poi l'altezza finale raggiunta rispetto al punto di partenza e la velocità in verticale al momento $t_c$, si fa la differenza di energia cinetica ed energia potenziale in campo gravitazionale fra le due situazioni, e la somma delle differenze rappresenta la quantità dissipata con l'attrito con l'aria (cioè uguale al suo lavoro). Come ha fatto il prof.
Innanzitutto ti ringrazio per la tua risposta.
3) come mai l'altezza massima raggiunta non c'entra?
Io so che la differenza di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forza, quindi anche della forza peso. Il lavoro della forza peso non è $m*g*h_(max)$?
Mi sembra di aver capito di aver fatto un'altra supposizione sbagliata, ovvero che la freccia casca a terra allo stesso livello di altezza dalla quale è stata lanciata... confermi che è una supposizione sbagliata?
Non c'entra semplicemente perché si tratta di una forza conservativa ed il punto di altezza massima non è ne iniziale, ne finale. La differenza di energia potenziale fra l'altezza iniziale e quella finale ($m*g*(h_b - h_c)$) si ritrova come lavoro effettuato dalla forza peso.
Non si sa a priori se la freccia arriva a terra allo stesso livello o no, si deve dedurre dalle equazioni di moto. Però, se i dati non sono stati scelti specificamente per ritrovarla alla stessa altezza, è molto probabile che le due siano diverse.
Non si sa a priori se la freccia arriva a terra allo stesso livello o no, si deve dedurre dalle equazioni di moto. Però, se i dati non sono stati scelti specificamente per ritrovarla alla stessa altezza, è molto probabile che le due siano diverse.
La forza peso e' equipotenziale per ogni altezza. Se il corpo parte da un'altezza h e arriva alla stessa altezza, il lavoro fatto dalla forza peso e' nulla: tanto lavoro (negativo) fatto nella salita, altrettanto, ma positivo in discesa.
Da qui discende facilmente che se il punto di arrivo e di partenza sono diversi, non occorre calcolare altezza massima, basta fare la differenza tra le quote dei 2 punti di arrivo.
Il risultato non ti coincide, perche se vuoi sapere il laovor della forza d'attrito e prendi come istante finale quando la ferma e' piantata a terra, (e quindi a rigore anche piu sotto del punto di partenza), stai calcolando anche il lavoro dell'attrito opposto dal terreno durante l'inficcata
Da qui discende facilmente che se il punto di arrivo e di partenza sono diversi, non occorre calcolare altezza massima, basta fare la differenza tra le quote dei 2 punti di arrivo.
Il risultato non ti coincide, perche se vuoi sapere il laovor della forza d'attrito e prendi come istante finale quando la ferma e' piantata a terra, (e quindi a rigore anche piu sotto del punto di partenza), stai calcolando anche il lavoro dell'attrito opposto dal terreno durante l'inficcata
Grazie mille mmdem e professorkappa! !!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo