Teorema e corollario di Carnot
Buongiorno, vorrei gentilmente chiedere un chiarimento riguardo al corollario del teorema di Carnot, il mio libro scrive: "I rendimenti di tutti i motori termici reversibili che operino tra le due stesse riserve di calore sono gli stessi, indipendentemente dal ciclo e dal fluido evolvente."
Il mio dubbio riguarda l'espressione "operare tra le due stesse riserve di calore". Essa implica che gli scambi di calore avvengano durante delle trasformazioni isoterme alla temperatura delle rispettive riserve? O le due trasformazioni in cui viene ceduto/assorbito calore possono essere qualsiasi (isobare, isocore)? (ovviamente a patto che siano reversibili).
Il mio dubbio riguarda l'espressione "operare tra le due stesse riserve di calore". Essa implica che gli scambi di calore avvengano durante delle trasformazioni isoterme alla temperatura delle rispettive riserve? O le due trasformazioni in cui viene ceduto/assorbito calore possono essere qualsiasi (isobare, isocore)? (ovviamente a patto che siano reversibili).
Risposte
Stai parlando di Carnot, che più ideale non si può. La sorgente di calore ed il pozzo termico sono proprio definite in modo che si abbia talmente tanto "calore" nella prima e talmente tanto "freddo" nella seconda che la temperatura di essi resta costante e quindi lo scambio di calore avviene a temperatura costante...nel senso che non cambia la temperatura della sorgente/pozzo però! Non c'è altro problema da porsi, né isobare, isoterme etc. Basta che il ciclo sia ideale e tanto basta. Detto in modo più pulito: il ciclo termodinamico è tale da non far variale la temperatura della sorgente da cui estrae $Q_1$ e del pozzo in cui rigetta $Q_2$. Questo è evidente anche perché il rendimento per cicli reversibili che chiedi è
$\eta = 1-Q_2/Q_1=1-T_2/T_1$ dove le $T$ sono le temperature . Comunque sia fatto il ciclo, il rendimento del ciclo equivalente reversibile dipende solo dalle temperature a cui opera.
$\eta = 1-Q_2/Q_1=1-T_2/T_1$ dove le $T$ sono le temperature . Comunque sia fatto il ciclo, il rendimento del ciclo equivalente reversibile dipende solo dalle temperature a cui opera.
Scusate l'intromissione, ma e' un po' fuorviante il testo.
Non e' vero che "i rendimenti di tutti i motori termici sono gli stessi".
Ogni ciclo ha un suo rendimento, che dipende dalle trasformazioni che avvengono nel ciclo (fermo restando il fatto che le temperature della sorgente e del pozzo di calore da cui si attinge e si riversa calore per far funzionare il ciclo restano costanti, perche' di capacita' termica infinita)
Quello che il teorema di Carnot dice e' che se prendiamo un ciclo qualsiasi che opera fra 2 temperature, il massimo rendimento che possiamo ottenere di sperare e' quello di un ciclo di Carnot operante tra quelle 2 medesime temperature.
Gli scambi di calore con le sorgenti possono avvenire lungo una qualsiasi trasformazione (non un'adiabatica, ovviamente)
Non e' vero che "i rendimenti di tutti i motori termici sono gli stessi".
Ogni ciclo ha un suo rendimento, che dipende dalle trasformazioni che avvengono nel ciclo (fermo restando il fatto che le temperature della sorgente e del pozzo di calore da cui si attinge e si riversa calore per far funzionare il ciclo restano costanti, perche' di capacita' termica infinita)
Quello che il teorema di Carnot dice e' che se prendiamo un ciclo qualsiasi che opera fra 2 temperature, il massimo rendimento che possiamo ottenere di sperare e' quello di un ciclo di Carnot operante tra quelle 2 medesime temperature.
Gli scambi di calore con le sorgenti possono avvenire lungo una qualsiasi trasformazione (non un'adiabatica, ovviamente)
Parla però di "motori termici reversibili" ed i rendimenti dei cicli reversibili, quindi ideali, sono tutti uguali a quello di Carnot che rappresenta proprio il concetto di idealità e dipende solo dalle temperature di funzionamento.
Non mi pare proprio.
Il rendimento di un ciclo reversibile dipende solo dalle temperature $T_1$ e $T_2$, ma varia da ciclo a ciclo: un ciclo Bryton reversibile avra' un rendimento diverso da un ciclo Stirling reversibile.
Il limite massimo a cui si puo' aspirare per entrambi i cicli e' comune ed e' $1-T_1/T_2$
Il rendimento di un ciclo reversibile dipende solo dalle temperature $T_1$ e $T_2$, ma varia da ciclo a ciclo: un ciclo Bryton reversibile avra' un rendimento diverso da un ciclo Stirling reversibile.
Il limite massimo a cui si puo' aspirare per entrambi i cicli e' comune ed e' $1-T_1/T_2$
No il rendimento ideale Brayton è sempre quello di Carno poiché il ciclo è simmetrico cioè $T_3:T_2=T_4:T_1$. Sostituisci e torna $1-T_1/T_2$
Edit : $Q_(i)= c_p (T_4-T_1) ; Q_(s)=c_p (T_3-T_2)$ quindi $\eta=1-(T_4-T_1)/(T_3-T_2)=1-((T_1 (T_4/T_1- 1))/(T_2(T_3/T_2 -1)))$
Ma $T_3/T_2=T_4/T_1$ allora $T_4/T_1 -1 = T_3/T_2 - 1$ e la frazione si semplifica in $1-T_1/T_2$.
Posso dimostrarlo anche per lo Stirling. Cioè è ovvio, forse ti confondi oppure non ho capito bene a cosa ti riferisci.
Edit : $Q_(i)= c_p (T_4-T_1) ; Q_(s)=c_p (T_3-T_2)$ quindi $\eta=1-(T_4-T_1)/(T_3-T_2)=1-((T_1 (T_4/T_1- 1))/(T_2(T_3/T_2 -1)))$
Ma $T_3/T_2=T_4/T_1$ allora $T_4/T_1 -1 = T_3/T_2 - 1$ e la frazione si semplifica in $1-T_1/T_2$.
Posso dimostrarlo anche per lo Stirling. Cioè è ovvio, forse ti confondi oppure non ho capito bene a cosa ti riferisci.
Concordo con Nikikinki e quoto:
(Termodinamica, E. Fermi pag 46)
(Termodinamica, E. Fermi pag 46)
Però nel ciclo Brayton-Joule $T1$ e $T2$ non sono le temperature delle sorgenti di calore che sottraggono/somministrano calore al fluido evolvente.
Inoltre, se appunto le uniche richieste fossero:
$a)$ ciclo reversibile;
$b)$ scambi di calore con sorgenti termiche (che mantengono quindi la loro temperatura costante);
allora la formula per il rendimento dovrebbe valere anche per i cicli Otto e Diesel (ideali): cosa che fatico a concepire.
Grazie a tutti per le risposte, comunque.
Inoltre, se appunto le uniche richieste fossero:
$a)$ ciclo reversibile;
$b)$ scambi di calore con sorgenti termiche (che mantengono quindi la loro temperatura costante);
allora la formula per il rendimento dovrebbe valere anche per i cicli Otto e Diesel (ideali): cosa che fatico a concepire.
Grazie a tutti per le risposte, comunque.
@Nikinkin/dRic
Scusate, ma secondo voi, in un ciclo operante tra 2 sorgenti $T_1
2-3: Espansione isoterma da $v_1$ a $v_2$
3-4: Raffreddamento isovolumico da $T_2$ a $T_1$
4-1: Compressione isoterma da $v_2$ a $v_1$
Il rendimento e' sempre $1-T_1/T_2$?
Il calore introdotto nelle prime 2 trasformazioni e' $Q=c_v(T_2-T_1)+RT_2ln(v_2/v_1)$
Il lavoro netto e' $L=R(T_2-T_1)ln(v_2/v_1)$
Il rendimento, mi pare, e' $eta=[R(T_2-T_1)ln(v_2/v_1)]/[c_v(T_2-T_1)+RT_2ln(v_2/v_1)]$
Che non mi pare lo stesso rendimento di Carnot tra $T_1$ e $T_2$
Scusate, ma secondo voi, in un ciclo operante tra 2 sorgenti $T_1
2-3: Espansione isoterma da $v_1$ a $v_2$
3-4: Raffreddamento isovolumico da $T_2$ a $T_1$
4-1: Compressione isoterma da $v_2$ a $v_1$
Il rendimento e' sempre $1-T_1/T_2$?
Il calore introdotto nelle prime 2 trasformazioni e' $Q=c_v(T_2-T_1)+RT_2ln(v_2/v_1)$
Il lavoro netto e' $L=R(T_2-T_1)ln(v_2/v_1)$
Il rendimento, mi pare, e' $eta=[R(T_2-T_1)ln(v_2/v_1)]/[c_v(T_2-T_1)+RT_2ln(v_2/v_1)]$
Che non mi pare lo stesso rendimento di Carnot tra $T_1$ e $T_2$
Se non dico cavolate, l'espansione isoterma 2-3, come la compressione isoterma 4-1 non possono avvenire senza scambio di calore con l'esterno quindi ci sono altre 2 sorgenti che non stai considerando. Quindi hai ragione che la il rendimento non è $1-\frac {T_1}{T_2}$, ma non per il motivo che sostenevi nel commento precedente. In questo caso ci sono 4 sorgenti e quindi la formula del rendimento non è pi banale come nel caso del ciclo ideale di carnot tra 2 sole sorgenti.
Infatti tu stesso dici "il calore introdotto nelle prime due trasformazioni è..." quindi hai 2 sorgenti di calore entrante ( e ne avrei altrettante di calore uscente). Il rendimento di cui si parla nel ciclo di Carnot prevede invece solo 2 sorgenti totali.
Infatti tu stesso dici "il calore introdotto nelle prime due trasformazioni è..." quindi hai 2 sorgenti di calore entrante ( e ne avrei altrettante di calore uscente). Il rendimento di cui si parla nel ciclo di Carnot prevede invece solo 2 sorgenti totali.
Un momento che forse stiamo dicendo tutti la stessa cosa ma rigirando malamente la frittata, io per primo quando ho scritto "il rendimento dell'ideale brayton è quello di Carnot". Quello che intendevo, che poi è il calcolo che ho riportato, è che è un Carnot se quelle due temperature sono quelle di Carnot, cioè se sono quelle a cui scambia calore o altrimenti quello che ho dimostrato è che posso associare al Brayton un Carnot equivalente. Il mio primissimo messaggio parlava di rendimenti di cicli reversibili e per quelli non solo si può trovare un Carnot equivalente, ma sono esattamente uguali. Ho risposto con quel calcolo perché dal tuo messaggio avevo capito che pensassi non si potesse estrarre un Carnot equivalente con sola dipendenza dalle due temperature e nella forma del Carnot (visto che dicevi "tende"), non che Brayton= Stirling = Carnot. Comunque in quel tuo esempio le sorgenti sono in numero maggiore di due, infatti anche per rispondere all'utente l'altra condizione è che le sorgenti siano solo due. Cioè credo al di là di espressioni fuorvianti che possiamo aver detto, stiamo asserendo la stessa cosa. Il rendimento del Brayton ideale è minore di quello di Carnot operante alle stesse temperature, perché gli mancano le due isoterme, ma posso comunque trovare un ciclo di Carnot equivalente al Brayton ideale.
Edit: probabilmente il punto di confusione l'ho introdotto io non specificando bene in che modo stessi rispondendo all'utente che chiedeva se gli scambi termici avvengono solo lungo isoterme. Lo scambio termico attraverso differenze finite di temperature è una trasformazione irreversibile, quindi dicendo che non doveva farsi problema su "isocore etc" era perché reversibile implica isoterma. Come ho detto al Brayton mancano le isoterme quindi il rendimento sarà minore del rendimento di Carnot a quelle temperature ma la dipendenza da esse mi permette di collegarlo ad un Carnot equivalente. Insomma, spero di essermi spiegato
Edit: probabilmente il punto di confusione l'ho introdotto io non specificando bene in che modo stessi rispondendo all'utente che chiedeva se gli scambi termici avvengono solo lungo isoterme. Lo scambio termico attraverso differenze finite di temperature è una trasformazione irreversibile, quindi dicendo che non doveva farsi problema su "isocore etc" era perché reversibile implica isoterma. Come ho detto al Brayton mancano le isoterme quindi il rendimento sarà minore del rendimento di Carnot a quelle temperature ma la dipendenza da esse mi permette di collegarlo ad un Carnot equivalente. Insomma, spero di essermi spiegato
Sicuramente ci stiamo incartando e cosi facendo incartiamo l'OT.
Provo a rispiegarmi.
Innanzitutto non capisco perche nel ciclo che ho descritto nel mio ultimo post ci sono, secondo, voi piu' di 2 sorgenti di calore.
Prendete un contenitore con pistone e gas ideale, bloccate il pistone, mettetelo a contatto con la sorgente S1 e aspettate che si stabilisca l'equilibro termico, ottenendo l'isovolumica. Sbloccate il pistone e fate evolvere il gas isotermicamente raccogliendo il lavoro. Ribloccate il pistone, mettete il sistema a contatto con il pozzo P1, aspettate che si ristabilisca l'equilibrio e ottenete il raffreddamento isovolumico. Risbloccate il pistone e comprimete lentamente il gas, spendendo lavoro, per far chiudere isotermicamente il ciclo. Voila', ciclo fatto con un forno a 200 C e un frigo a 4C: 2 sorgenti di calore.
Ora, il rendimento massimo che qualsiasi ciclo IDEALE, operante in una macchina IDEALE puo sperare di ottenere e' quello di una mcchina ideale che usa un ciclo di Carnot che si muove tra le stesse temperature $T_1$ e $T_2$. Non si puo' far meglio nemmeno in condizioni di reversibilita' e operando con macchine ideali.
Il rendimento di un ciclo qualsiasi che usa una macchina ideale e un gas perfetto si chiama rendimento ideale. Dipende dal ciclo: in alcuni casi, coincide con Carnot, ma non sempre. In altri casi coincide se si giochicchia con le variabili: ad esempio, il rendimento del ciclo descritto da me nel mio ultimo post non coincide con quello di Carnot.
Ma se prendiamo il calore sottratto dal raffreddamento dell'isovolumica 3-4 e lo usiamo per scaldare il gas nella isovolumica 1-2 si vede subito che il rendimento e' $eta_[id]=1-T_1/T_2=eta_c$. E' un ciclo Stirling.
Altro esempio: un ciclo Brayton aperto non ha in generale rendimento ideale uguale a quello di Carnot: ma lo eguaglia se giochiamo con la temperatura $T_4$ di fine espansione adiabatica portandola a un valore identico a quella finale $T_2$ che raggiunge il gas alla fine della compressione adiabatica, come mostrato da niki.
Valori diversi di temperatura $T_4$ daranno valori diversi di rendimento: ovviamente tutti peggiori, perche' per $T_4=T_2$ abbiamo raggiunto il rendimento di Carnot e quindi ogni altro rendimento sara' inferiore.
Quindi in generale vale $eta_[id]<=eta_c$
Non entro in discorsi di rendimenti Limite, Reali e Interni per non confondere ulteriormente le acque, ma spero di essermi spiegato meglio.
Provo a rispiegarmi.
Innanzitutto non capisco perche nel ciclo che ho descritto nel mio ultimo post ci sono, secondo, voi piu' di 2 sorgenti di calore.
Prendete un contenitore con pistone e gas ideale, bloccate il pistone, mettetelo a contatto con la sorgente S1 e aspettate che si stabilisca l'equilibro termico, ottenendo l'isovolumica. Sbloccate il pistone e fate evolvere il gas isotermicamente raccogliendo il lavoro. Ribloccate il pistone, mettete il sistema a contatto con il pozzo P1, aspettate che si ristabilisca l'equilibrio e ottenete il raffreddamento isovolumico. Risbloccate il pistone e comprimete lentamente il gas, spendendo lavoro, per far chiudere isotermicamente il ciclo. Voila', ciclo fatto con un forno a 200 C e un frigo a 4C: 2 sorgenti di calore.
Ora, il rendimento massimo che qualsiasi ciclo IDEALE, operante in una macchina IDEALE puo sperare di ottenere e' quello di una mcchina ideale che usa un ciclo di Carnot che si muove tra le stesse temperature $T_1$ e $T_2$. Non si puo' far meglio nemmeno in condizioni di reversibilita' e operando con macchine ideali.
Il rendimento di un ciclo qualsiasi che usa una macchina ideale e un gas perfetto si chiama rendimento ideale. Dipende dal ciclo: in alcuni casi, coincide con Carnot, ma non sempre. In altri casi coincide se si giochicchia con le variabili: ad esempio, il rendimento del ciclo descritto da me nel mio ultimo post non coincide con quello di Carnot.
Ma se prendiamo il calore sottratto dal raffreddamento dell'isovolumica 3-4 e lo usiamo per scaldare il gas nella isovolumica 1-2 si vede subito che il rendimento e' $eta_[id]=1-T_1/T_2=eta_c$. E' un ciclo Stirling.
Altro esempio: un ciclo Brayton aperto non ha in generale rendimento ideale uguale a quello di Carnot: ma lo eguaglia se giochiamo con la temperatura $T_4$ di fine espansione adiabatica portandola a un valore identico a quella finale $T_2$ che raggiunge il gas alla fine della compressione adiabatica, come mostrato da niki.
Valori diversi di temperatura $T_4$ daranno valori diversi di rendimento: ovviamente tutti peggiori, perche' per $T_4=T_2$ abbiamo raggiunto il rendimento di Carnot e quindi ogni altro rendimento sara' inferiore.
Quindi in generale vale $eta_[id]<=eta_c$
Non entro in discorsi di rendimenti Limite, Reali e Interni per non confondere ulteriormente le acque, ma spero di essermi spiegato meglio.
Sì mi ritrovo con ciò che dici in generale ma non con quell'esempio perché se lascio andare il pistone sto comprimendo il gas e quindi sto aumentando la sua tenperatura. Se voglio la isoterma devo estrarre quel calore. Analogo per la espansione dove invece la temperatura diminuisce.
Edit: o al contrario non ho capito se fai partire il pistone alto o basso ma non cambierebbe, avrei lasciandolo andare prima la espansione con diminuzione di temperatura e quindi dovrei fornire altro calore per tenere la temperarura costante
Edit: o al contrario non ho capito se fai partire il pistone alto o basso ma non cambierebbe, avrei lasciandolo andare prima la espansione con diminuzione di temperatura e quindi dovrei fornire altro calore per tenere la temperarura costante
"professorkappa":
Sbloccate il pistone e fate evolvere il gas isotermicamente raccogliendo il lavoro.
In una espansione isoterma devi fornire calore. Ecco la seconda sorgente. Il fatto che la seconda sorgente sia sempre l'ambiente e che quindi la sua temperatura sia uguale, non significa che siano la "stessa sorgente". Non necessariamente le sorgenti devono essere enti fisicamente separati.
Quello che dici profkappa è giusto, ma non è vero che hai solo 2 sorgenti, ne hai 4! Ecco perché l'enunciato del teorema non regge: perché non sono soddisfatte le ipotesi! ovvero che ci siano solo 2 sorgenti.
"dRic":
[quote="professorkappa"]
Sbloccate il pistone e fate evolvere il gas isotermicamente raccogliendo il lavoro.
In una espansione isoterma devi fornire calore. Ecco la seconda sorgente. Il fatto che la seconda sorgente sia sempre l'ambiente e che quindi la sua temperatura sia uguale, non significa che siano la "stessa sorgente". Non necessariamente le sorgenti devono essere enti fisicamente separati.
Quello che dici profkappa è giusto, ma non è vero che hai solo 2 sorgenti, ne hai 4! Ecco perché l'enunciato del teorema non regge: perché non sono soddisfatte le ipotesi! ovvero che ci siano solo 2 sorgenti.[/quote]
Ok, tutto chiarito; si, per quanto riguarda il numero di sorgenti, avete ragione, sono in effetti 4.
Quindi in fin dei conti il teorema mi dice che date due sorgenti di calore a temperatura $T1$ e $T2$ il motore termico reversibile che operi tra queste due sorgenti di calore con il migliore rendimento è quello di Carnot.
Ciò non toglie che, dato un ciclo reversibile che scambia calore con due sorgenti termiche, si possa costruire un ciclo di Carnot in modo che abbia lo stesso rendimento: in generale quest'ultimo non opererà tra le stesse due sorgenti del ciclo di partenza.
Ciò non toglie che, dato un ciclo reversibile che scambia calore con due sorgenti termiche, si possa costruire un ciclo di Carnot in modo che abbia lo stesso rendimento: in generale quest'ultimo non opererà tra le stesse due sorgenti del ciclo di partenza.
"gianni97":
Quindi in fin dei conti il teorema mi dice che date due sorgenti di calore a temperatura $T1$ e $T2$ il motore termico reversibile che operi tra queste due sorgenti di calore con il migliore rendimento è quello di Carnot.
Sì perché uno scambio termico reversibile può avvenire solo tramite una successione di stati di equilibrio termodinamico tra ambiente e fluido e questo avviene solo nei cicli di Carnot, che hanno tutti stesso rendimento. Negli altri cicli reversibili invece questo non avviene, infatti si distingue in cicli completamente (esternamente+internamente) reversibili, quale è Carnot e quelli solo internamente reversibili (Brayton etc).
"gianni97":
Ciò non toglie che, dato un ciclo reversibile che scambia calore con due sorgenti termiche, si possa costruire un ciclo di Carnot in modo che abbia lo stesso rendimento: in generale quest'ultimo non opererà tra le stesse due sorgenti del ciclo di partenza.
Sì a patto che il ciclo sia simmetrico (Brayton, Stirling, Otto ma non Diesel per esempio) per cui valgono $T_1T_3=T_2T_4$ e le altre due relazioni identiche sostituendo la pressione ed il volume (a seconda dei casi ovvio). Ma è più una cosa formale. Il centro dell'informazione è nel teorema precedente.
Ok, grazie mille.
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