Teorema di unicità del potenziale

[lorenzo.paletti]

Qualcuno sarebbe così gentile da potermi scrivere in maniera comprensibile il teorema di unicità del potenziale su una superficie (Con LaPlace e le relative condizioni al contorno)? Perchè sto cercando di studiarlo ma sia sui miei appunti sia sul David J. Griffiths è spiegato in maniera veramente superficiale.

[Cantaro86]

io provo a riportarti una dimostrazione generale dell'unicità dell'equazione di Poisson: $\nabla^2U=f$

Innanzi tutto bisogna conoscere il principio di massimo:
Sia D un dominio (aperto e connesso) e sia U una funzione armonica (cioè che soddisfa l'eq. di Laplace) continua in $D \cup \partialD$ allora max e min si trovano sulla frontiera $\partial D$.

Poi supponiamo che esista un'altra funzione V che soddisfi $\nabla^2V=f$ ed entrambe abbiano le stesse condizioni al contorno: $U=h$ in $\partialD$ e $V=h$ in $\partial D$.
Allora definiamo $W=U-V$ e vediamo che questa funzione è armonica: $\nabla^2W=\nabla^2U-\nabla^2V=f-f=0$
Sulla frontiera la W vale 0: $ W|_{\partial D}$ = $U|_{\partial D}$ - $V|_{\partial D}=h-h=0$
ma sulla frontiera sappiamo che sono presenti sia il Max che il Min, e quindi $W_{min}\<=W\<=W_{max}$ $\Rightarrow$ $0\<=W\<=0$
se $W=0$ allora $U=V$ ed il teorema è dimostrato.

ciao