Teorema di Noether
Sto cercando una dimostrazione comprensibile di questo teorema. Su wikipedia ho trovato un enunciato alternativo più "raggiungibile", ma già parla di gruppo di trasformazione ad un parametro. Io so che un gruppo è un insieme dotato di operazione binaria per la quale possiede associatività, ha elemento neutro, e inverso. Se da qui link mi dice che $q=F(Q,s)$, $F$ è la trasformazione che trasforma $Q$ in $q$, ma quale significato ha questa "struttura di gruppo" ed il parametro? Semplicemente sommo o moltiplico una quantità s?
Successivamente dice che la Lagrangiana è invariante rispetto a tale trasformazione. Quindi semplicemante le equazioni che descrivono il sistema non variano, allora le nuove coordinate trasformate $(q, \dot q)$ e le coordinate vecchie $(Q, \dot Q)$ danno $L(q, \dot q)=L(Q, \dot Q)$. Segue che il gruppo deve essere di simmetria (nel senso che la trasformazione "che gode delle proprietà di gruppo" lascia invariato il sistema fisico?) e un suo integrale primo è dato dalla funzione delle vecchie coordinate (... ma anche delle nuove dato che vi compaiono) $I(Q, \dot Q)=\frac{\partial L}{\partial \dot q}(q, \dot q)\frac{\partial F}{\partial s}(Q, 0)$ (dove le parentesi indicano non una moltiplicazione ma una dipendenza delle funzioni dai parametri) e non capisco ancora cosa sia effettivamente la derivata parziale rispetto a questa funzione $F$ in $(Q, 0)$.
Figurarsi la dimostrazione
Dovrebbe in realtà significare:
$\frac{\partial}{\partial s}L(F(Q, 0), \dot F(Q, 0))|_{s=0}=$(ovvero ancora $q=Q$?)$=\Sigma \frac{\partial L}{\partial q}(F(Q, 0), \dot F(Q, 0))\frac{\partial F}{\partial s}(Q, 0)+ \frac{\partial L}{\partial \dot q}(F(Q, 0), \dot F(Q, 0)) \frac{\dot \partial F}{\partial s}(Q, 0)$? Dove la derivata è nulla perchè non vi è alcun parametro $s$. Questa:
è come dire $\dot q= \frac{d}{dt}q$. E da questo ultimo passaggio, che ancora devo capire, dovrebbe arrivare alla dimostrazione della tesi?
Successivamente dice che la Lagrangiana è invariante rispetto a tale trasformazione. Quindi semplicemante le equazioni che descrivono il sistema non variano, allora le nuove coordinate trasformate $(q, \dot q)$ e le coordinate vecchie $(Q, \dot Q)$ danno $L(q, \dot q)=L(Q, \dot Q)$. Segue che il gruppo deve essere di simmetria (nel senso che la trasformazione "che gode delle proprietà di gruppo" lascia invariato il sistema fisico?) e un suo integrale primo è dato dalla funzione delle vecchie coordinate (... ma anche delle nuove dato che vi compaiono) $I(Q, \dot Q)=\frac{\partial L}{\partial \dot q}(q, \dot q)\frac{\partial F}{\partial s}(Q, 0)$ (dove le parentesi indicano non una moltiplicazione ma una dipendenza delle funzioni dai parametri) e non capisco ancora cosa sia effettivamente la derivata parziale rispetto a questa funzione $F$ in $(Q, 0)$.
Figurarsi la dimostrazione
Dovrebbe in realtà significare:
$\frac{\partial}{\partial s}L(F(Q, 0), \dot F(Q, 0))|_{s=0}=$(ovvero ancora $q=Q$?)$=\Sigma \frac{\partial L}{\partial q}(F(Q, 0), \dot F(Q, 0))\frac{\partial F}{\partial s}(Q, 0)+ \frac{\partial L}{\partial \dot q}(F(Q, 0), \dot F(Q, 0)) \frac{\dot \partial F}{\partial s}(Q, 0)$? Dove la derivata è nulla perchè non vi è alcun parametro $s$. Questa:
è come dire $\dot q= \frac{d}{dt}q$. E da questo ultimo passaggio, che ancora devo capire, dovrebbe arrivare alla dimostrazione della tesi?
Risposte
"5mrkv":
$q=F(Q,s)$, $F$ è la trasformazione che trasforma $Q$ in $q$, ma quale significato ha questa "struttura di gruppo" ed il parametro? Semplicemente sommo o moltiplico una quantità s?
Non capisco il problema. Forse la definizione di "gruppo ad un parametro"? Se e' cosi', e' semplice: e' un gruppo per cui puoi scrivere un omomorfismo dal gruppo dei numeri reali con addizione al gruppo stesso. Per esempio c'e' il gruppo che da' l'evoluzione temporale di un sistema oppure il gruppo delle rotazioni attorno ad un asse fisso (in 3d).
Successivamente dice che la Lagrangiana è invariante rispetto a tale trasformazione. Quindi semplicemante le equazioni che descrivono il sistema non variano, allora le nuove coordinate trasformate $(q, \dot q)$ e le coordinate vecchie $(Q, \dot Q)$ danno $L(q, \dot q)=L(Q, \dot Q)$. Segue che il gruppo deve essere di simmetria (nel senso che la trasformazione "che gode delle proprietà di gruppo" lascia invariato il sistema fisico?)
In termini quantistici si direbbe che "commuta con l'evolutore temporale". In termini classici sarebbe che le equazioni del moto restano invarianti. Prendi l'esempio del sistema a simmetria azimutale (rotazioni attorno ad un asse fisso). Puoi trovare le soluzioni del sistema ruotato sia trovando quelle del vecchio e ruotandole, sia imponendo le condizioni iniziali e facendo poi evolvere il sistema "nuovo", ottenendo lo stesso risultato.
e un suo integrale primo è dato dalla funzione delle vecchie coordinate (... ma anche delle nuove dato che vi compaiono) $I(Q, \dot Q)=\frac{\partial L}{\partial \dot q}(q, \dot q)\frac{\partial F}{\partial s}(Q, 0)$ (dove le parentesi indicano non una moltiplicazione ma una dipendenza delle funzioni dai parametri) e non capisco ancora cosa sia effettivamente la derivata parziale rispetto a questa funzione $F$ in $(Q, 0)$.
Veramente non capisco il problema: e' la derivata calcolata quando il parametro fa $0$...non e' che ti stai perdendo in un bicchier d'acqua?
Figurarsi la dimostrazione
Dovrebbe in realtà significare:
$\frac{\partial}{\partial s}L(F(Q, 0), \dot F(Q, 0))|_{s=0}=$(ovvero ancora $q=Q$?)$=\Sigma \frac{\partial L}{\partial q}(F(Q, 0), \dot F(Q, 0))\frac{\partial F}{\partial s}(Q, 0)+ \frac{\partial L}{\partial \dot q}(F(Q, 0), \dot F(Q, 0)) \frac{\dot \partial F}{\partial s}(Q, 0)$? Dove la derivata è nulla perchè non vi è alcun parametro $s$.
Continuo a propendere per il "bicchier d'acqua". La riga che alleghi dice semplicemente che la derivata della lagrangiana delle vecchie variabili rispetto ad $s$ si annulla. Riscrivo per chiarezza:
[tex]\frac{\partial}{\partial s} \mathcal L (q,\dot q) = \frac{\partial}{\partial s} \mathcal L (F(Q,s),\dot F(Q,s))[/tex]
usando la regola della derivazione a catena ritrovi l'espressione di prima, quando calcoli per $s=0$.
Non puoi imporre $s=0$ *prima* di fare la derivata, altrimenti scompare tutto. Fai confusione con la notazione.
Questa:
Usa la regola di Leibniz per la derivata del prodotto di due funzioni, nella forma:
[tex]f'(x) g'(x) = (f(x) g(x))' - f'(x) g(x)[/tex]
Io ho una domanda, probabilmente stupida . perché quando si calcola la derivata di L rispetto a s compaiono le derivate di L rispetto a q e a q punto?
"ilpuma94":
Io ho una domanda, probabilmente stupida . perché quando si calcola la derivata di L rispetto a s compaiono le derivate di L rispetto a q e a q punto?
La lagrangiana \(\mathscr{L}=\mathscr{L}(\vec{q},\dot{\vec{q}})\) è funzione di \(\vec{q},\dot{\vec{q}}\) che sono a loro volta funzioni del parametro \(s\in\mathbb{R}\), per cui si applica il seguente:
"Teorema di differenziabilità di funzioni composte":
Siano \(A\subseteq\mathbb{R}^N\) aperto, \(f\colon A\to \mathbb{R}\) funzione differenziabile in \(A\), \(\vec{x}\colon\mathopen{[} a,b \mathclose{]} \to A\) derivabile in \(\mathopen{]}a,b\mathclose{[}\) allora la funzione composta \(F(t):=(f\circ\vec{x})(t)\) è derivabile in \(\mathopen{]}a,b\mathclose{[}\), e si ha
\[
\frac{dF}{dt}=\langle[(\mathrm{grad}f)\circ\vec{x}](t),\dot{\vec{x}}(t)\rangle_{\mathbb{R^N}}=\sum_{k=1}^N\frac{\partial f}{\partial x^k}(\vec{x}(t))\dot{x}^k(t),\quad\forall t\in \mathopen{]}a,b\mathclose{[}
\]
Penso sarebbe comunque più corretto sostituire
\[ \frac{\partial}{\partial s}\rightsquigarrow\frac{d}{ds}
\]
dal momento che la dipendenza di \(\mathscr{L}\) da \(s\) avviene solo attraverso \(\vec{q},\dot{\vec{q}}\).
Comunque hai riesumato un post di quattro anni fa
Ahah lo so:) grazie mille per la risposta 
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